Étude de fonction et calcul d'aire — situation complexe

Exercice 5

Soit la fonction f définie sur $]0;+\infty [$ par : $f(x)=x-1-\ln (x)$.

Partie A : Étude de f

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier les variations de f sur $]0;+\infty [$.
2. Montrer que $f(x)\ge 0$ pour tout $x\in ]0;+\infty [$, et que $f(x)=0$ si et seulement si $x=1$.

Partie B : Application intégrale

On pose : $J=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\ln (x)dx$.

3. Calculer J en effectuant une intégration par parties. (On posera $u=\ln (x)$ et $v^{\prime }=1$.)
4. En utilisant le résultat de la Partie A, montrer que : $J\le \frac{e^2-1}{2}-e+1$. Puis vérifier cette inégalité numériquement (on admettra $e\approx 2,718$).

Partie C : Interprétation géométrique

5. Interpréter géométriquement J, puis calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de ln, l'axe des ordonnées, et les droites $y=0$ et $y=1$.