Exercice 3 On considère la fonction f définie sur [ 0 ; 1 ] par f ( x ) = ( 2 x + 1 ) e x . Calculer l'intégrale I = 0 ∫ 1 ( 2 x + 1 ) e x d x en effectuant une intégration par parties. On précisera clairement le choix de u et v ′ . Vérifier le résultat en cherchant directement une primitive de f sous la forme G ( x ) = ( a x + b ) e x , où a et b sont des réels à déterminer. En déduire l'aire, en unités d'aire, de la région du plan délimitée par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 1 . (On admettra que f est positive sur [ 0 ; 1 ] .)

Intégration par parties et application — Bac Côte d'Ivoire 2023

Intermédiaire Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 3

On considère la fonction f définie sur $[0; 1]$ par $f (x) = (2 x + 1) e^{x}$ .

Calculer l'intégrale $I = 0 \int 1 (2 x + 1) e^{x} d x$ en effectuant une intégration par parties. On précisera clairement le choix de $u$ et $v^{'}$ .
Vérifier le résultat en cherchant directement une primitive de f sous la forme $G (x) = (a x + b) e^{x}$ , où $a$ et $b$ sont des réels à déterminer.
En déduire l'aire, en unités d'aire, de la région du plan délimitée par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ . (On admettra que f est positive sur $[0; 1]$ .)

Indices

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1 Indice 1

Pour l'intégration par parties, choisis $u = 2x + 1$ (qui se simplifie en dérivant) et $v' = e^x$ (qui reste simple en intégrant). Applique ensuite la formule $\int u \, v' = [uv] - \int u' \, v$.

2 Indice 2

Pour vérifier avec $G(x) = (ax + b)e^x$, calcule d'abord $G'(x)$ en utilisant la dérivée d'un produit. Tu obtiendras $(ax + a + b)e^x$. Identifie ensuite les coefficients avec $(2x + 1)e^x$ pour trouver $a$ et $b$.

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Pour l'intégration par parties, choisis $u = 2 x + 1$ (qui se simplifie en dérivant) et $v^{'} = e^{x}$ (qui reste simple en intégrant). Applique ensuite la formule $\int u v^{'} = [uv] - \int u^{'} v$ .

Pour vérifier avec $G (x) = (a x + b) e^{x}$ , calcule d'abord $G^{'} (x)$ en utilisant la dérivée d'un produit. Tu obtiendras $(a x + a + b) e^{x}$ . Identifie ensuite les coefficients avec $(2 x + 1) e^{x}$ pour trouver $a$ et $b$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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