Encadrement et dérivabilité à droite d'une fonction intégrale

Énoncé

On considère la fonction $F$ définie pour $x>0$ par $F(x)=\underset{x^2}{\overset{4x^2}{\int }}\frac{e^{-t}}{t}dt$ et $F(0)=2\ln 2$.

1. Montrer que pour tout $t>0$ : $-t\le e^{-t}-1\le 0$, et vérifier que pour tout $x>0$ : $\underset{x^2}{\overset{4x^2}{\int }}\frac{1}{t}dt=2\ln 2$.

2. En déduire que pour tout $x>0$ : $-3x^2\le F(x)-2\ln 2\le 0$, puis que $F$ est dérivable à droite en $0$ et préciser $F_d^{\prime }(0)$.