Énoncé On considère la fonction F définie sur ] 1 , + ∞ [ par F ( x ) = x ∫ x 2 ( ln t ) 2 1 d t . Vérifier que pour tout x > 1 : x ∫ x 2 t ( ln t ) 2 1 d t ≤ F ( x ) , puis en déduire que F ( x ) ≥ 2 ln x 1 . En déduire x → 1 + lim F ( x ) .

Minoration d'une fonction intégrale et limite en 1

Difficile

On considère la fonction $F$ définie sur $] 1, + \infty [$ par $F (x) = x \int x^{2} \frac{1}{( ln t ) ^{2}} d t$ .

Vérifier que pour tout $x > 1$ : $x \int x^{2} \frac{1}{t ( ln t ) ^{2}} d t \leq F (x)$ , puis en déduire que $F (x) \geq \frac{1}{2 ln x}$ .
En déduire $x \to 1^{+} lim F (x)$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Comparez les integrandes en remarquant que pour $t\in[x,x^2]$ avec $x>1$, on a $1/t < 1$.

2 Indice 2

Reconnaissez que $\dfrac{1}{t(\ln t)^2}$ est la derivee de $-\dfrac{1}{\ln t}$ pour calculer explicitement l'integrale minorante.

3 Indice 3

Pour la limite, utilisez l'encadrement obtenu et le fait que $\ln x \to 0^+$ quand $x \to 1^+$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Comparez les integrandes en remarquant que pour $t \in [x, x^{2}]$ avec $x > 1$ , on a $1/ t < 1$ .

Reconnaissez que $\frac{1}{t ( ln t ) ^{2}}$ est la derivee de $- \frac{1}{ln t}$ pour calculer explicitement l'integrale minorante.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points