Énoncé Montrer que pour tout x ≥ − 2 1 : 0 ∫ x 1 + t t 2 d t = ln ( 1 + x ) − x + 2 1 x 2 . Montrer que pour tout t ≥ − 2 1 : 1 + t t 2 ≤ 2 t 2 , puis que 0 ∫ x 1 + t t 2 d t ≤ 3 2 ∣ x ∣ 3 . En déduire que x → 0 lim x 2 ln ( 1 + x ) − x = − 2 1 .

Identité intégrale et limite par encadrement

Intermédiaire

Énoncé

Montrer que pour tout $x \geq - \frac{1}{2}$ : $0 \int x \frac{t ^{2}}{1 + t} d t = ln (1 + x) - x + \frac{1}{2} x^{2}$ .
Montrer que pour tout $t \geq - \frac{1}{2}$ : $\frac{t ^{2}}{1 + t} \leq 2 t^{2}$ , puis que $0 \int x \frac{t ^{2}}{1 + t} d t \leq \frac{2}{3} ∣ x ∣^{3}$ .
En déduire que $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}} = - \frac{1}{2}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer l'intégrale, commence par effectuer la division euclidienne de $t^{2}$ par $1+t$. Tu cherches $a$, $b$ et $c$ tels que $\dfrac{t^{2}}{1+t} = at + b + \dfrac{c}{1+t}$.

2 Indice 2

Pour la majoration, remarque que si $t \geq -\dfrac{1}{2}$, alors $1+t \geq \dfrac{1}{2}$, donc $\dfrac{1}{1+t} \leq 2$. Multiplie cette inégalité par $t^{2}$ pour obtenir la majoration demandée.

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Pour calculer l'intégrale, commence par effectuer la division euclidienne de $t^{2}$ par $1 + t$ . Tu cherches $a$ , $b$ et $c$ tels que $\frac{t ^{2}}{1 + t} = a t + b + \frac{c}{1 + t}$ .

Pour la majoration, remarque que si $t \geq - \frac{1}{2}$ , alors $1 + t \geq \frac{1}{2}$ , donc $\frac{1}{1 + t} \leq 2$ . Multiplie cette inégalité par $t^{2}$ pour obtenir la majoration demandée.

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