Intégrale de référence par découpage logarithmique

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Soit . Montrer que :

Indices

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1 Indice 1
Pour trouver une primitive de $\dfrac{-1}{t\,\ln t}$, pense à la dérivée composée : quelle fonction, dérivée, donnerait $\dfrac{1}{t\,\ln t}$ ? Cherche du côté de $\ln|\ln t|$.
2 Indice 2
Calcule la primitive aux bornes : $\Big[-\ln|\ln t|\Big]_{x^{2}}^{x} = -\ln|\ln x| + \ln|\ln(x^{2})|$. Utilise maintenant que $\ln(x^{2}) = 2\ln x$ pour simplifier cette différence.

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La méthode — par où commencer

Pour trouver une primitive de , pense à la dérivée composée : quelle fonction, dérivée, donnerait ? Cherche du côté de .

Calcule la primitive aux bornes : . Utilise maintenant que pour simplifier cette différence.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Identité intégrale et limite par encadrement Tous les exercices du chapitre Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$