Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$

On considère la suite $(I_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ définie par :

$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}dx$

1. Calculer $I_1$, puis $I_1+I_3$ et en déduire $I_3$.
2. Montrer que la suite $(I_n)$ est convergente.
3. Montrer que $\left(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right):\frac{1}{(n+1)\sqrt{2}}\le I_n\le \frac{1}{n+1}$, puis en déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n$.
4. Montrer que pour tout $n\ge 3$, $n{I}_n+(n-1)I_{n-2}=\sqrt{2}$, et en déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }n{I}_n$.