On considère la suite ( I n ) n ∈ N définie par : I n = 0 ∫ π /2 ( cos x ) n d x Calculer I 0 puis montrer que ( ∀ n ∈ N ) : I n + 2 = n + 2 n + 1 I n . Montrer par récurrence que ( ∀ n ∈ N ) : I 2 n = ( n ! ) 2 ( 2 n )! ⋅ 2 2 n + 1 π . Montrer que ( ∀ n ∈ N ) : ( n + 1 ) I n I n + 1 = 2 π . En déduire que ( ∀ n ∈ N ) : I 2 n + 1 = ( 2 n + 1 )! 2 2 n ( n ! ) 2 .

Intégrales de Wallis $I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$

Difficile

Énoncé

On considère la suite $(I_{n})_{n \in N}$ définie par :

$I_{n} = 0 \int π /2 (cos x)^{n} d x$

Calculer $I_{0}$ puis montrer que $(\forall n \in N) : I_{n + 2} = \frac{n + 1}{n + 2} I_{n}$ .
Montrer par récurrence que $(\forall n \in N) : I_{2 n} = \frac{( 2 n )!}{( n ! ) ^{2}} \cdot \frac{π}{2 ^{2 n + 1}}$ .
Montrer que $(\forall n \in N) : (n + 1) I_{n} I_{n + 1} = \frac{π}{2}$ .
En déduire que $(\forall n \in N) : I_{2 n + 1} = \frac{2 ^{2 n} ( n ! ) ^{2}}{( 2 n + 1 )!}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour établir la relation de récurrence, intègre par parties $I_{n+2}=\\int_0^{\\pi/2}\\cos^{n+1}x\\cos x\\,dx$ en posant $u=\\cos^{n+1}x$ et $v'=\\cos x$.

2 Indice 2

Pour la récurrence sur $I_{2n}$, utilise la relation trouvée à la question précédente en remplaçant $n$ par $2n$.

3 Indice 3

Pour le produit $(n+1)I_nI_{n+1}$, étudie comment il évolue quand on passe de $n$ à $n+1$ en utilisant la relation de récurrence.

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Pour établir la relation de récurrence, intègre par parties $I_{n+2}=\\int\limits_0^{\\pi/2}\\cos^{n+1}x\\cos x\\,dx$ en posant $u = co s^{n + 1} x$ et $v^{'} = cos x$ .

Pour la récurrence sur $I_{2 n}$ , utilise la relation trouvée à la question précédente en remplaçant $n$ par $2 n$ .

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