Soit a ∈ R + . On considère les suites ( U n ) et ( V n ) définies par : U n = k = 0 ∑ n k ! a k et V n = n ! 1 0 ∫ a ( a − x ) n e x d x Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : V n = − n ! a n + V n − 1 . Montrer que pour tout n ∈ N : e a = U n + V n . Montrer que pour tout n ∈ N : 0 ≤ V n ≤ ( n + 1 )! e a a n + 1 . En déduire n → + ∞ lim n ! a n et la limite de ( U n ) .

Reste intégral de l'exponentielle et $\lim \frac{a^n}{n!}$

Difficile

Énoncé

Soit $a \in R^{+}$ . On considère les suites $(U_{n})$ et $(V_{n})$ définies par :

$U_{n} = k = 0 \sum n \frac{a ^{k}}{k !} et V_{n} = \frac{1}{n !} 0 \int a (a - x)^{n} e^{x} d x$

Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $V_{n} = - \frac{a ^{n}}{n !} + V_{n - 1}$ .
Montrer que pour tout $n \in N$ : $e^{a} = U_{n} + V_{n}$ .
Montrer que pour tout $n \in N$ : $0 \leq V_{n} \leq \frac{e ^{a} a ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$ .
En déduire $n \to + \infty lim \frac{a ^{n}}{n !}$ et la limite de $(U_{n})$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la question 1, integre par parties $V_n$ avec $u=(a-x)^n$ et $w'=e^x$ ; calcule d'abord le terme entre crochets en $x=a$ et $x=0$.

2 Indice 2

Pour la question 2, procede par recurrence : verifie l'egalite pour $n=0$ en calculant $V_0=\\int_0^a e^x\\,dx$, puis utilise la relation trouvee en 1.

3 Indice 3

Pour la question 3, encadre $e^x$ sur $[0,a]$ par $e^a$ (car $e^x$ est croissante), puis integre. Pour la question 4, utilise le theoreme des gendarmes sur l'encadrement obtenu.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, integre par parties $V_{n}$ avec $u = (a - x)^{n}$ et $w^{'} = e^{x}$ ; calcule d'abord le terme entre crochets en $x = a$ et $x = 0$ .

Pour la question 2, procede par recurrence : verifie l'egalite pour $n = 0$ en calculant $V_0=\\int\limits_0^a e^x\\,dx$ , puis utilise la relation trouvee en 1.

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