Soit F la fonction définie sur R ∗ par : F ( x ) = x ∫ 2 x ln ( 1 + t 2 ) 1 d t Pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ on pose φ ( x ) = 1 ∫ x ln ( 1 + t 2 ) 1 d t . Montrer que F est impaire. a) Vérifier que pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ , F ( x ) = φ ( 2 x ) − φ ( x ) . b) En déduire que F est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ et que F ′ ( x ) = ln ( 1 + 4 x 2 ) ln ( 1 + x 2 ) ln ( 1 + 4 x 2 ( 1 + x 2 ) 2 ) . Encadrer : montrer que pour tout x > 0 , ln ( 1 + 4 x 2 ) x ≤ F ( x ) ≤ ln ( 1 + x 2 ) x , puis calculer x → + ∞ lim F ( x ) et x → + ∞ lim x F ( x ) .

Étude de $F(x)=\int_x^{2x}\frac{dt}{\ln(1+t^2)}$

Difficile

Soit $F$ la fonction définie sur $R^{*}$ par :

$F (x) = x \int 2 x \frac{1}{ln ( 1 + t ^{2} )} d t$

Pour tout $x \in] 0; + \infty [$ on pose $φ (x) = 1 \int x \frac{1}{ln ( 1 + t ^{2} )} d t$ .

Montrer que $F$ est impaire.
a) Vérifier que pour tout $x \in] 0; + \infty [$ , $F (x) = φ (2 x) - φ (x)$ .
b) En déduire que $F$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et que $F^{'} (x) = \frac{ln ( \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}{1 + 4 x ^{2}} )}{ln ( 1 + 4 x ^{2} ) ln ( 1 + x ^{2} )}$ .
Encadrer : montrer que pour tout $x > 0$ , $\frac{x}{ln ( 1 + 4 x ^{2} )} \leq F (x) \leq \frac{x}{ln ( 1 + x ^{2} )}$ , puis calculer $x \to + \infty lim F (x)$ et $x \to + \infty lim \frac{F ( x )}{x}$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la parité, effectuez le changement de variable $t = -u$ dans $F(-x) = \int_{-x}^{-2x} g(t)\,dt$ et utilisez que $g$ est paire.

2 Indice 2

Pour la dérivée, écrivez $F(x) = \varphi(2x) - \varphi(x)$ puis dérivez chaque terme avec la formule de dérivation d'une primitive composée.

3 Indice 3

Pour l'encadrement, comparez $\ln(1+t^2)$ sur l'intervalle $[x,2x]$, inversez les inégalités, puis intégrez sur cet intervalle de longueur $x$.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la parité, effectuez le changement de variable $t = - u$ dans $F (- x) = - x \int - 2 x g (t) d t$ et utilisez que $g$ est paire.

Pour la dérivée, écrivez $F (x) = φ (2 x) - φ (x)$ puis dérivez chaque terme avec la formule de dérivation d'une primitive composée.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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