Intégration par parties et calcul d'aire — Bac Cameroun 2023

Exercice 3 — Intégration par parties et aire d'un domaine plan

On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par $f(x)=(x+1)\times e^x$ et sa courbe représentative (C) dans un repère orthogonal.

1. Montrer que $F(x)=x\times e^x$ est une primitive de f sur $\mathbb{R}$.
2. a) Calculer l'intégrale $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1)\times e^{x}dx$ en utilisant la primitive trouvée en 1.
   b) Vérifier ce résultat en utilisant la méthode d'intégration par parties avec $u(x)=x+1$ et $v^{\prime }(x)=e^x$.
3. On considère la fonction g définie sur [0 ; 1] par $g(x)=2x+1$.
   a) Montrer que $f(x)\ge g(x)$ pour tout $x\in [0;1]$.
   b) Calculer l'aire du domaine plan délimité par les courbes de f et de g sur [0 ; 1]. On exprimera le résultat en unités d'aire (u.a.).