Étude d'une suite d'intégrales et encadrement

Exercice 3 — Suite d'intégrales et encadrement

Pour tout entier naturel $n\ge 0$, on définit :

$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n\cdot e^{x}dx$.

1. Calculs préliminaires.

   1. Calculer $I_0=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$.
   2. En utilisant une intégration par parties, calculer $I_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cdot e^{x}dx$.

2. Relation de récurrence.
   En effectuant une intégration par parties avec $u(x)=x^n$ et $v^{\prime }(x)=e^x$, montrer que pour tout entier $n\ge 1$ :

   $I_n=e-n\cdot I_{n-1}$.

3. Encadrement de $I_n$.

   1. Montrer que pour tout $x\in [0;1]$ et pour tout $n\ge 0$ : $0\le x^n\cdot e^x\le e\cdot x^n$.
   2. En déduire : $0\le I_n\le \frac{e}{n+1}$.
   3. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n$.

4. Application.
   En utilisant la relation de récurrence et la limite trouvée en 3.c), montrer que la suite $(n!\cdot I_n)$ n'est pas bornée, puis calculer $I_2$ et $I_3$ à l'aide de la relation de récurrence.