Primitives et calcul d'une intégrale simple — Bac Cameroun 2023

Facile Inspiré BAC Cameroun
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Exercice inspiré d'un BAC Cameroun
Source-style : BAC Cameroun Série C 2023
Inspiré du style BAC Cameroun Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 1 — Primitives et intégrale définie

On considère la fonction f définie sur par : .

  1. Déterminer la primitive F de f sur telle que .

  2. Calculer l'intégrale : .

  3. On pose . Déterminer le signe de g sur , puis en déduire une inégalité vérifiée par .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour trouver la primitive $F(x)$, commence par primitiver terme à terme : $3x^2$ donne $x^3$, $-4x$ donne $-2x^2$, et $2e^x$ donne $2e^x$. N'oublie pas d'ajouter une constante $C$, puis utilise la condition $F(0)=1$ pour déterminer $C$.
2 Indice 2
Pour l'intégrale $I$, utilise le théorème fondamental : $I = F(1) - F(0)$. Pour le signe de $g(x) = 3x^2 - 4x + 2e^x - 2$, calcule $g(0)$ et $g(1)$, puis étudie la dérivée $g'(x) = 6x - 4 + 2e^x$ pour comprendre les variations de $g$ sur $[0;1]$.

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La méthode — par où commencer

Pour trouver la primitive , commence par primitiver terme à terme : donne , donne , et donne . N'oublie pas d'ajouter une constante , puis utilise la condition pour déterminer .

Pour l'intégrale , utilise le théorème fondamental : . Pour le signe de , calcule et , puis étudie la dérivée pour comprendre les variations de sur .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Étude d'une suite d'intégrales et encadrement Tous les exercices du chapitre Intégrale, inégalité et application à une suite