Continuité, TVI et équation f(x) = k sur un intervalle

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par :

$f(x)=x^3-3x+1$

1. Montrer que $f$ est continue sur $[0;2]$.
2. Calculer $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$.
3. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]0;1[$ et au moins une solution dans $]1;2[$.
4. Montrer que $f$ est strictement monotone sur $[1;2]$ (on admettra que $f^{\prime }(x)=3x^2-3$). En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]1;2[$. Encadrer $\alpha$ à $10^{-1}$ près.