Étude d'une fonction avec limite en forme 1^∞ et prolongement par continuité

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie par :

$f(x)={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{\frac{x^2}{x+1}}$ pour $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $x\ne -1$.

1. Montrer que pour tout $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ avec $x\ne -1$, on peut écrire :
   $\ln (f(x))=\frac{x^2}{x+1}\times \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$.
2. En utilisant la limite de référence $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$, calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln (f(x))$, puis en déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
3. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
4. On définit $g$ sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=f(x)$ si $x>0$ et $x\ne -1$, et $g(0)=\ell$.
   Déterminer la valeur de $\ell$ pour que $g$ soit continue en $0$ par valeurs à droite, en étudiant $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$.
5. Montrer que pour $x>0$, $f(x)>0$ et étudier le signe de $\ln (f(x))-1$ pour conclure sur la position de la courbe de $f$ par rapport à la droite d'équation $y=e$, pour $x$ grand.