Asymptotes et étude de fonction avec logarithme

Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par :

$f(x)=x-2+\frac{\ln x}{x}$.

1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition :

   1. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$
   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$

2. Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x-2$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ au voisinage de $+\infty$.

3. On admet que $f^{\prime }(x)=\frac{x-1+\ln x}{x^2}$. Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=x-1+\ln x$.

   1. Calculer $g^{\prime }(x)$ et étudier son signe sur $]0;+\infty [$.
   2. Dresser le tableau de variations de $g$, puis montrer que $g(x)\ge 0$ pour tout $x\in ]0;+\infty [$. (On précisera pour quelle valeur l'égalité est atteinte.)
   3. En déduire le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $]0;+\infty [$, puis dresser le tableau de variations de $f$.

4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty [$. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près (on pourra utiliser $f(0,1)$ et $f(0,2)$ sans les recalculer si on les pose).