Exercice 5 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = x − 2 ln ( x 2 − 3 x + 2 ) pour les valeurs de x où cette expression est définie. Déterminer l'ensemble de définition D f de f . (On rappelle que ln est défini sur ] 0 ; + ∞ [ .) Calculer x → 2 + lim f ( x ) et x → 2 − lim f ( x ) . La droite x = 2 est-elle une asymptote verticale ? Montrer que pour x  = 1 et x  = 2 : x 2 − 3 x + 2 = ( x − 1 ) ( x − 2 ) . En déduire une expression simplifiée de f ( x ) pour x > 2 , puis calculer x → 2 + lim f ( x ) à nouveau en utilisant cette simplification et la limite de référence u → 0 lim u ln ( 1 + u ) = 1 . Montrer que f est prolongeable par continuité en x = 2 . Donner la valeur f ~ ( 2 ) du prolongement. Calculer x → + ∞ lim f ( x ) et x → 1 + lim f ( x ) . Interpréter graphiquement chaque résultat.

Limites, asymptotes et prolongement par continuité d'une fonction logarithmique

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie par :

$f (x) = \frac{ln ( x ^{2} - 3 x + 2 )}{x - 2}$

pour les valeurs de $x$ où cette expression est définie.

Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f$ . (On rappelle que $ln$ est défini sur $] 0; + \infty [$ .)
Calculer $x \to 2^{+} lim f (x)$ et $x \to 2^{-} lim f (x)$ . La droite $x = 2$ est-elle une asymptote verticale ?
Montrer que pour $x \neq = 1$ et $x \neq = 2$ : $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ . En déduire une expression simplifiée de $f (x)$ pour $x > 2$ , puis calculer $x \to 2^{+} lim f (x)$ à nouveau en utilisant cette simplification et la limite de référence $u \to 0 lim \frac{ln ( 1 + u )}{u} = 1$ .
Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $x = 2$ . Donner la valeur $\tilde{f} (2)$ du prolongement.
Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ et $x \to 1^{+} lim f (x)$ . Interpréter graphiquement chaque résultat.

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1 Indice 1

Le domaine exige $x^2-3x+2>0$ ; factorise ce trinome pour etudier son signe.

2 Indice 2

Ecris $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ et separe le logarithme du produit.

3 Indice 3

Pose $u=x-2$ et fais apparaitre la limite de reference $\frac{\ln(1+u)}{u}\to 1$.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Le domaine exige $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ; factorise ce trinome pour etudier son signe.

Ecris $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ et separe le logarithme du produit.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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