Exercice 2 — Théorème des valeurs intermédiaires

On considère la fonction $h$ définie sur $[0;2]$ par :

$h(x)=x^3-3x+1$

1. Montrer que $h$ est continue sur $[0;2]$.
2. Calculer $h(0)$ et $h(2)$.
3. En déduire que l'équation $h(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]0;2[$. Quel théorème utilisez-vous ? Vérifier soigneusement ses hypothèses.
4. Montrer de même que l'équation $h(x)=0$ admet au moins une solution dans $]-2;0[$. (On admettra que $h(-2)=-1$.)

Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ par :

$f(x)=\frac{3x^2+2x-1}{x+1}$

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
2. Effectuer la division euclidienne de $3x^2+2x-1$ par $x+1$, puis en déduire une asymptote oblique à la courbe représentative de f.
3. Étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote oblique.

Exercice 1 – Prolongement par continuité

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ par :

$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$

1. Montrer que pour tout $x\ne 1$, on a $f(x)=x-2$.

2. La fonction $f$ admet-elle un prolongement par continuité en $x=1$ ? Si oui, déterminer la valeur $g(1)$ de ce prolongement et définir complètement la fonction $g$ ainsi obtenue.

3. On considère maintenant la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

   $h(x)=f(x)$ si $x\ne 1$, et $h(1)=0$.

   La fonction $h$ est-elle continue en $x=1$ ? Justifier rigoureusement.

Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par :

$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}$

1. Montrer que la limite de f en $x=2$ est une forme indéterminée du type $\frac{0}{0}$.
2. Lever cette indétermination et calculer $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$.
3. La fonction f est-elle prolongeable par continuité en $x=2$ ? Si oui, définir ce prolongement g sur $\mathbb{R}$.

Exercice 1 — Limites et asymptotes

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ par :

$f(x)=\frac{\sin (3x)+2x}{x}$

1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. En déduire si $f$ est prolongeable par continuité en $0$, et préciser la valeur de ce prolongement.
2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. La courbe de $f$ admet-elle une asymptote horizontale en $+\infty$ ou en $-\infty$ ?
3. On pose $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=f(x)$ si $x\ne 0$, et $g(0)=5$. La fonction $g$ est-elle continue en $0$ ? Justifier.

Exercice 1 — Limite en zéro et prolongement par continuité

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ par :

$f(x)=\frac{e^x-1}{3x}$

1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. Justifier soigneusement en précisant la limite de référence utilisée.
2. La fonction $f$ admet-elle un prolongement par continuité en $0$ ? Si oui, définir la fonction $g$ prolongement de $f$, et préciser sa valeur en $0$.
3. Étudier la continuité de $g$ sur $\mathbb{R}$.

Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ par :

$f(x)=\frac{e^x-1}{3x}$

1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. On pourra utiliser la limite de référence $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$.
2. La fonction f est-elle prolongeable par continuité en $0$ ? Si oui, définir le prolongement $\tilde{f}$ et préciser sa valeur en $0$.
3. Étudier la continuité de $\tilde{f}$ sur $\mathbb{R}$.

Soit la fonction g définie sur $]0;+\infty [$ par :

$g(x)=\frac{x^2+\ln (x)}{2x^2-3x+1}$

1. Déterminer le domaine de définition de g.
2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$ en justifiant soigneusement chaque étape.
3. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$. On discutera le signe de la limite.

Exercice 2 — TVI et existence de solution

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par :

$f(x)=x^3-3x+1$

1. Vérifier que $f$ est continue sur $[0;2]$.
2. Calculer $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$.
3. Montrer qu'il existe au moins un réel $c\in ]0;1[$ tel que $f(c)=0$, et au moins un réel $d\in ]1;2[$ tel que $f(d)=0$. On admettra qu'il existe aussi une racine dans $]-2;-1[$.
4. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet au moins deux solutions dans $[0;2]$. Peut-on affirmer qu'il y en a exactement deux ? Justifier brièvement.

Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{e^x-1-x}{x^2}$ pour $x\ne 0$, et $f(0)=\frac{1}{2}$.

1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ en utilisant les limites de référence. En déduire si $f$ est continue en $0$.
2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement.
3. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=x^2\cdot \ln (x)$. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{g(x)}{e^x}$.

Exercice 2

On considère la fonction f définie sur $[0;+\infty [$ par :

$f(x)=\frac{2x^2+3x-1}{x+1}$

1. Effectuer la division euclidienne de $2x^2+3x-1$ par $x+1$, puis en déduire l'expression de $f(x)$ sous la forme $f(x)=ax+b+r(x)$, où $r(x)$ est un reste à préciser.
2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. Conclure sur l'existence d'une asymptote oblique en $+\infty$ et donner son équation.
3. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-(2x+1)]$. Que peut-on en déduire ?

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par :

$f(x)=x^3-3x+1$

1. Montrer que $f$ est continue sur $[0;2]$.
2. Calculer $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$.
3. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]0;1[$ et au moins une solution dans $]1;2[$.
4. Montrer que $f$ est strictement monotone sur $[1;2]$ (on admettra que $f^{\prime }(x)=3x^2-3$). En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]1;2[$. Encadrer $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

Exercice 1

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ si $x\ne 2$, et $f(2)=k$, où k est un réel.

1. Calculer $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$. Préciser la forme indéterminée rencontrée et la lever.
2. Déterminer la valeur de k pour que f soit continue en $x=2$.
3. La fonction f ainsi prolongée est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^3-3x+1$.

1. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
2. Calculer $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$.
3. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]0;1[$ et au moins une solution dans l'intervalle $]1;2[$.
4. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)=3x^2-3$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-2;2]$.
5. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions réelles distinctes. On précisera pour chacune un intervalle de longueur $1$ la contenant.

Exercice 1

On considère les fonctions suivantes définies sur leurs domaines respectifs.

1. Calculer les limites suivantes en justifiant chaque étape :

   1. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (3x)}{5x}$
   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+3x-1}{x^2-x+4}$
   3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{3x}$
   4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\times e^{-x}$

2. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{\ln (1+4x)}{2x}$ pour $x\ne 0$, et $f(0)=a$.

   1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$.
   2. Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en 0.

Exercice 1

Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par :

$f(x)=\frac{3x^2-5x-2}{x-2}$

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement.
2. Calculer $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement.
3. Montrer que la droite (D) d'équation $y=3x+1$ est une asymptote oblique à la courbe de f en $+\infty$ et en $-\infty$.

Exercice 2

Soit la fonction g définie par :

• $g(x)=\frac{e^{2x}-1}{\sin (3x)}$ pour $x\ne 0$
• $g(0)=a$

1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)$. (On utilisera les limites de référence.)

2. Déterminer la valeur de a pour que g soit continue en 0.

3. La fonction g ainsi prolongée est-elle dérivable en 0 ? Justifier.

Calculer les limites suivantes :

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-5x+1}{2x^2+x-4}$
2. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}$
3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x^2+3x}-x$
4. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (3x)}{x}$

Soit $f(x)=x^3+2x-5$.

1. Montrer que f est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
2. Calculer f(1) et f(2).
3. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]1,2[$.
4. Donner un encadrement de $\alpha$ à 0.5 près.

Calculer les limites suivantes en levant les formes indéterminées :

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+x}-x)$
2. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x^3-8}$
3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^3-x+1}{x^3+5x^2-2}$
4. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$

Calculer les limites suivantes :

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-2x+1}{x^2+5}$
2. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}$
3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (3x)}{x}$
4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+1}-x)$

Soit f la fonction définie par :

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ si $x\ne 1$, et $f(1)=2$

1. Calculer $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$.
2. f est-elle continue en $x=1$ ?
3. Peut-on modifier la valeur de $f(1)$ pour rendre f continue en 1 ? Si oui, quelle valeur ?
4. Simplifier l'expression de $f(x)$ pour $x\ne 1$ et en déduire la nature de la courbe de f.

Calculer les limites suivantes :

1. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}$
2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\cdot e^{-x}$
3. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\cdot \ln (x)$
4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}$

Évaluez la limite : $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-x}$.

Énoncé

Calculer les limites suivantes.

1. $\underset{x\to 9}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x-1}-2}{x-9}$
2. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{x-1}$
3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x^2+3}}$

Énoncé

Montrer que l'équation

$(E):\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+2}=5-x$

admet une unique solution dans l'intervalle $[1;5]$.

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=3x+2$. Calculez la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $1$.

Calculer la limite suivante : $\underset{x\to 0}{\lim }$ $\frac{\sin (x)}{x}$.

Calculer la limite suivante : $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$.

Calculer la limite suivante : $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}$.

Soit la fonction f définie par $f(x)=x^2+3$. Montrer que f est continue sur $\mathbb{R}$.

Soit la fonction f définie par $f(x)=3x+2$. Calculez $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$.

Calculez $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x^2-3x+1}{2x^2+x}$.

Calculez $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x^2+3x}{2x^2+1}$.

Calculez $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$.

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=2x+3$. Calculez la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$.

Calculez $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}$.

Déterminez la limite de la fonction $g$ définie par $g(x)=\frac{1}{x}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Soit la fonction f définie par $f(x)=x^2$ pour $x\ne 2$ et $f(2)=4$. Vérifiez si f est continue en $x=2$.