Limites et continuité — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Limites d'une fonction

Limites en un point

On dit que f(x) tend vers ℓ quand x tend vers a si :

∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x - a| < δ ⇒ |f(x) - ℓ| < ε

Limites de référence

lim_x→0 sin(x)/x = 1
lim_x→+∞ (1 + 1/x)^x = e
lim_x→0 (1 + x)^1/x = e
lim_x→0 (e^x - 1)/x = 1
lim_x→0 ln(1 + x)/x = 1

Formes indéterminées

0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 × ∞, 1^∞, 0⁰

Opérations sur les limites

Si lim f = ℓ et lim g = ℓ' :

lim(f + g) = ℓ + ℓ'
lim(f × g) = ℓ × ℓ'
lim(f/g) = ℓ/ℓ' (si ℓ' ≠ 0)

II. Croissances comparées

Au voisinage de +∞

lim_x→+∞ xⁿ/e^x = 0 (l'exponentielle l'emporte sur les puissances)
lim_x→+∞ ln(x)/x^α = 0 pour α > 0 (les puissances l'emportent sur ln)
lim_x→+∞ e^x/xⁿ = +∞

III. Continuité

Définition

f est continue en a si lim_x→a f(x) = f(a).

f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si f est continue sur [a,b] et si f(a) · f(b) < 0, alors ∃c ∈ ]a,b[ tel que f(c) = 0.

Corollaire (bijection) : Si f est continue et strictement monotone sur [a,b], alors l'équation f(x) = k admet une unique solution pour tout k entre f(a) et f(b).

IV. Prolongement par continuité

Si lim_x→a f(x) = ℓ (finie) et f n'est pas définie en a, on prolonge f par continuité en posant f(a) = ℓ.

🔑 Formules clés à retenir

lim sin(x)/x = 1 (x→0)
lim (e^x-1)/x = 1 (x→0)
lim ln(1+x)/x = 1 (x→0)
e^x >> xⁿ >> ln(x) en +∞
TVI : f continue, f(a)·f(b) < 0 ⇒ ∃c : f(c) = 0

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Forme indéterminée ∞/∞ : ne jamais simplifier "∞/∞ = 1" ! Il faut factoriser par le terme dominant. Ex : lim (3x²+1)/(x²−x) = lim x²(3+1/x²) / x²(1−1/x) = 3/1 = 3.

❌

Oublier les croissances comparées : lim x·e^−x en +∞ = 0 (l'expo bat la puissance). Beaucoup d'élèves concluent "+∞ × 0 = indéterminé" sans utiliser la croissance comparée.

❌

Limite sin(x)/x : valable seulement en 0 : sin(x)/x → 1 quand x → 0 (et x en radians !). En +∞, sin(x)/x → 0 (gendarmes avec −1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x).

🟢 Astuces de pros

✅

Lever une FI 0/0 par factorisation : si f(a) = g(a) = 0, factorise par (x−a) aux numérateur et dénominateur, puis simplifie avant de substituer.

✅

Conjugué pour les radicaux : pour lim √(x+1) − √x en +∞, multiplier par (√(x+1) + √x) / (√(x+1) + √x). La différence se transforme en 1 / (√(x+1) + √x) → 0.

💡

Prolongement par continuité : si lim_x→a f(x) = ℓ mais f(a) non défini, on peut "prolonger" f en posant f(a) = ℓ pour rendre f continue. C'est exactement ce qu'on fait avec sin(x)/x en posant sa valeur = 1 en x=0.

Limites et continuité — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

🟢 Exercices Faciles

6 exercices

Calcul de limites simples

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les limites suivantes :

lim_x→+∞ (3x² - 5x + 1)/(2x² + x - 4)
lim_x→1 (x² - 1)/(x - 1)
lim_x→+∞ √(x² + 3x) - x
lim_x→0 sin(3x)/x

Ma réponse

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Correction détaillée

1.

= lim x²(3 - 5/x + 1/x²) / x²(2 + 1/x - 4/x²) = 3/2

2.

= lim (x-1)(x+1)/(x-1) = lim(x+1) = 2

3.

On multiplie par le conjugué :

= lim (x²+3x-x²)/(√(x²+3x)+x) = lim 3x/(x(√(1+3/x)+1))

= lim 3/(√(1+3/x)+1) = 3/(1+1) = 3/2

4.

= lim 3·sin(3x)/(3x) = 3 · 1 = 3

Continuité et TVI

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = x³ + 2x - 5.

Montrer que f est continue et strictement croissante sur ℝ.
Calculer f(1) et f(2).
En déduire que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans ]1, 2[.
Donner un encadrement de α à 0.5 près.

Ma réponse

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Correction détaillée

1.

f est polynomiale donc continue sur ℝ.

f'(x) = 3x² + 2 > 0 pour tout x ∈ ℝ, donc f est strictement croissante.

2.

f(1) = 1 + 2 - 5 = -2 < 0

f(2) = 8 + 4 - 5 = 7 > 0

3.

f est continue et strictement croissante sur [1,2], f(1) < 0 < f(2).

Par le TVI (corollaire de bijection), l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α ∈ ]1, 2[. ✓

4.

f(1.5) = 3.375 + 3 - 5 = 1.375 > 0

Donc α ∈ ]1, 1.5[. Encadrement : 1 < α < 1.5

Formes indéterminées - Conjugués et factorisation

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les limites suivantes en levant les formes indéterminées :

lim_x→+∞ (√(x²+x) - x)
lim_x→2 (x² - 4)/(x³ - 8)
lim_x→+∞ (2x³ - x + 1)/(x³ + 5x² - 2)
lim_x→0 (√(1+x) - 1)/x

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Correction détaillée

1. Forme ∞ - ∞ (conjugué)

On multiplie et divise par le conjugué (√(x²+x) + x) :

= lim (x²+x - x²)/(√(x²+x) + x) = lim x/(x·√(1+1/x) + x)

= lim 1/(√(1+1/x) + 1) = 1/(1+1) = 1/2

2. Forme 0/0 (factorisation)

x² - 4 = (x-2)(x+2)

x³ - 8 = (x-2)(x²+2x+4)

= lim (x+2)/(x²+2x+4) = (2+2)/(4+4+4) = 4/12 = 1/3

3. Forme ∞/∞ (diviser par x³)

= lim (2 - 1/x² + 1/x³)/(1 + 5/x - 2/x³) = 2/1 = 2

4. Forme 0/0 (conjugué)

= lim (1+x-1)/(x(√(1+x)+1)) = lim x/(x(√(1+x)+1)) = 1/(1+1) = 1/2

Calcul de limites variées

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les limites suivantes :

lim_x→+∞ (3x²-2x+1)/(x²+5)
lim_x→2 (x²-4)/(x-2)
lim_x→0 sin(3x)/x
lim_x→+∞ (√(x²+1) - x)

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Correction détaillée

1. lim_x→+∞ (3x²-2x+1)/(x²+5)

On factorise x² au numérateur et au dénominateur :

(3x²-2x+1)/(x²+5) = x²(3 - 2/x + 1/x²) / [x²(1 + 5/x²)]

= (3 - 2/x + 1/x²) / (1 + 5/x²)

Quand x → +∞ : 2/x → 0, 1/x² → 0, 5/x² → 0

Donc lim_x→+∞ (3x²-2x+1)/(x²+5) = 3/1 = 3

2. lim_x→2 (x²-4)/(x-2)

En x = 2 : forme indéterminée 0/0. On factorise le numérateur :

x² - 4 = (x-2)(x+2)

Donc : (x²-4)/(x-2) = (x-2)(x+2)/(x-2) = x+2 pour x ≠ 2

lim_x→2 (x²-4)/(x-2) = lim_x→2 (x+2) = 2+2 = 4

3. lim_x→0 sin(3x)/x

On utilise la limite fondamentale : lim_u→0 sin(u)/u = 1

sin(3x)/x = 3 · sin(3x)/(3x)

Posons u = 3x : quand x → 0, u → 0, et sin(3x)/(3x) → 1

lim_x→0 sin(3x)/x = 3 × 1 = 3

4. lim_x→+∞ (√(x²+1) - x)

Forme indéterminée ∞ - ∞. On multiplie par l'expression conjuguée :

(√(x²+1) - x) × (√(x²+1) + x) / (√(x²+1) + x)

= (x²+1 - x²) / (√(x²+1) + x)

= 1 / (√(x²+1) + x)

Quand x → +∞ : √(x²+1) ~ x, donc √(x²+1) + x ~ 2x → +∞

lim_x→+∞ (√(x²+1) - x) = 0

Continuité et prolongement par continuité

🟢 Facile

Énoncé

Soit f la fonction définie par :

f(x) = (x²-1)/(x-1) si x ≠ 1, et f(1) = 2

Calculer lim_x→1 f(x).
f est-elle continue en x = 1 ?
Peut-on modifier la valeur de f(1) pour rendre f continue en 1 ? Si oui, quelle valeur ?
Simplifier l'expression de f(x) pour x ≠ 1 et en déduire la nature de la courbe de f.

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Correction détaillée

1. Calcul de lim_x→1 f(x)

Pour x ≠ 1, on factorise le numérateur :

x² - 1 = (x-1)(x+1)

Donc f(x) = (x-1)(x+1)/(x-1) = x+1 pour x ≠ 1

lim_x→1 f(x) = lim_x→1 (x+1) = 1+1 = 2

2. Continuité en x = 1

On vérifie les trois conditions de continuité :

f(1) = 2 (donné)
lim_x→1 f(x) = 2 (calculé ci-dessus)
f(1) = lim_x→1 f(x) = 2 ✓

f est continue en x = 1.

3. Prolongement par continuité

Puisque f est déjà continue en x = 1 avec f(1) = 2 = lim_x→1 f(x), la valeur f(1) = 2 est exactement celle qui assure la continuité.

Si f(1) avait été différente de 2, il aurait fallu poser f(1) = 2 pour prolonger f par continuité.

Le prolongement par continuité existe et vaut f(1) = 2.

4. Nature de la courbe

Pour x ≠ 1 : f(x) = x + 1

La courbe de f est une droite d'équation y = x+1 privée du point d'abscisse x = 1.

Mais comme f(1) = 2 = 1+1, le point (1, 2) appartient aussi à la courbe, donc la courbe est simplement la droite y = x+1 tout entière.

Limites impliquant cos, exponentielle et logarithme

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les limites suivantes :

lim_x→0 (1-cos x)/x²
lim_x→+∞ x·e^-x
lim_x→0⁺ x·ln(x)
lim_x→+∞ ln(x)/x

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Correction détaillée

1. lim_x→0 (1-cos x)/x²

On utilise l'identité : 1 - cos x = 2sin²(x/2)

(1-cos x)/x² = 2sin²(x/2)/x² = 2sin²(x/2)/(4·(x/2)²) = (1/2)·[sin(x/2)/(x/2)]²

Quand x → 0 : x/2 → 0, donc sin(x/2)/(x/2) → 1

lim_x→0 (1-cos x)/x² = 1/2

2. lim_x→+∞ x·e^-x

On écrit x·e^-x = x/e^x

Par les croissances comparées, e^x croît plus vite que tout polynôme quand x → +∞ :

lim_x→+∞ x/e^x = 0

lim_x→+∞ x·e^-x = 0

3. lim_x→0⁺ x·ln(x)

On pose t = -ln(x), donc x = e^-t. Quand x → 0⁺, t → +∞

x·ln(x) = e^-t·(-t) = -t·e^-t

Par les croissances comparées : lim_t→+∞ t·e^-t = 0

lim_x→0⁺ x·ln(x) = 0

4. lim_x→+∞ ln(x)/x

On pose x = e^t, donc ln(x) = t. Quand x → +∞, t → +∞

ln(x)/x = t/e^t

Par les croissances comparées : lim_t→+∞ t/e^t = 0

lim_x→+∞ ln(x)/x = 0

Interprétation : le logarithme croît beaucoup plus lentement que x.

🟡 Exercices Intermédiaires

7 exercices

Limites et formes indéterminées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer les limites suivantes :

lim_x→0 (1 - cos(x))/x²
lim_x→+∞ x·ln(1 + 1/x)
lim_x→0⁺ x·ln(x)
lim_x→+∞ (1 + 2/x)^x
lim_x→1 (xⁿ - 1)/(x - 1) pour n ∈ ℕ*

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Correction détaillée

1.

(1-cos x)/x² = 2sin²(x/2)/x² = 2·(sin(x/2))²/(x/2)²·(1/4)·...

En utilisant sin(x)/x → 1 : = (1/2)·(sin(x/2)/(x/2))² → 1/2

2.

On pose t = 1/x → 0⁺ : = (1/t)·ln(1+t) = ln(1+t)/t → 1

3.

On pose t = -ln(x) → +∞ : x = e^-t

x·ln(x) = -t·e^-t → 0 (car e^t >> t)

4.

= lim ((1 + 2/x)^x/2)² = (lim(1+2/x)^x/2)²

On pose u = x/2 : (1+1/u)^u → e

Résultat : e²

5.

= lim (xⁿ-1)/(x-1) = lim (x-1)(x^n-1+x^n-2+...+1)/(x-1)

= 1 + 1 + ... + 1 (n termes) = n

Prolongement par continuité et asymptotes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f définie par f(x) = (e^x - 1 - x)/(x²) pour x ≠ 0.

Calculer lim_x→0 f(x). En déduire un prolongement par continuité de f en 0.
Soit g(x) = (x² - 3x + 2)/(x - 1) pour x ≠ 1. Prolonger g par continuité en 1.
Pour h(x) = x + 2 + 3/(x-1), déterminer l'asymptote oblique en +∞ et la position de la courbe.

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Correction détaillée

1. Prolongement de f en 0

On utilise le développement limité : e^x ≈ 1 + x + x²/2 au voisinage de 0.

Donc e^x - 1 - x ≈ x²/2

lim_x→0 (e^x-1-x)/x² = lim x²/2 / x² = 1/2

On prolonge f par continuité en posant f(0) = 1/2.

2. Prolongement de g en 1

g(x) = (x²-3x+2)/(x-1) = (x-1)(x-2)/(x-1) = x - 2 (pour x ≠ 1)

lim_x→1 g(x) = 1 - 2 = -1

On prolonge g en posant g(1) = -1.

3. Asymptote oblique de h

h(x) = x + 2 + 3/(x-1). Quand x → ±∞, 3/(x-1) → 0.

La droite y = x + 2 est asymptote oblique en +∞ et en -∞.

h(x) - (x+2) = 3/(x-1). Ce terme est positif si x > 1 : la courbe est au-dessus de l'asymptote pour x > 1, et en-dessous pour x < 1.

TVI et localisation de racines

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = x³ - x - 1.

Montrer que f est continue et strictement croissante sur ℝ.
Montrer qu'il existe un unique réel α dans ]1, 2[ tel que f(α) = 0.
En étudiant le signe de f(1.3) et f(1.4), donner un encadrement de α à 0.1 près.
Soit g(x) = x² - 2. Montrer que l'équation f(x) = g(x) admet au moins une solution dans ]0, 2[.

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Correction détaillée

1.

f est polynomiale donc continue sur ℝ.

f'(x) = 3x² - 1. f'(x) = 0 ⇔ x = ±1/√3. f'(x) < 0 sur ]-1/√3, 1/√3[, donc f n'est pas monotone sur ℝ entier.

Correction : f admet un min local en x = 1/√3 et max local en x = -1/√3, mais elle est bien continue sur ℝ.

On étudiera la restriction sur [1, 2] : f'(x) = 3x²-1 > 0 pour x ≥ 1, donc f est strictement croissante sur [1,2].

2. Existence et unicité de α

f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0

f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0

f est continue sur [1,2] et f(1)·f(2) < 0. Par le TVI, ∃ α ∈ ]1,2[ tel que f(α) = 0.

f est strictement croissante sur [1,2], donc cette solution est unique. ✓

3. Encadrement de α

f(1.3) = 1.3³ - 1.3 - 1 = 2.197 - 1.3 - 1 = -0.103 < 0

f(1.4) = 1.4³ - 1.4 - 1 = 2.744 - 1.4 - 1 = 0.344 > 0

Donc 1.3 < α < 1.4. ✓

4.

f(x) = g(x) ⇔ x³ - x - 1 = x² - 2 ⇔ h(x) = x³ - x² - x + 1 = 0

h(0) = 1 > 0 et h(2) = 8 - 4 - 2 + 1 = 3 > 0. Essayons h(1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0.

x = 1 est donc solution dans ]0,2[ (on vérifie : 1 ∈ ]0,2[). ✓

On pouvait aussi remarquer h(x) = (x-1)²(x+1), donc x = 1 est racine double dans ]0,2[. ✓

Asymptotes et continuité d'une fraction rationnelle

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = (2x²+3x-2)/(x²-x-2).

Factoriser le numérateur et le dénominateur.
Déterminer le domaine de définition D_f.
Étudier les limites en ±∞ et trouver l'asymptote horizontale.
Étudier les limites aux points exclus du domaine.
La discontinuité en x = 2 est-elle évitable ? Si oui, donner le prolongement par continuité.

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Correction détaillée

1. Factorisation

Dénominateur : x²-x-2 = (x-2)(x+1)

Vérification : racines x = 2 et x = -1 (somme = 1, produit = -2 ✓)

Numérateur : 2x²+3x-2

Discriminant : Δ = 9 + 16 = 25, racines : x = (-3±5)/4, soit x = 1/2 et x = -2

2x²+3x-2 = 2(x-1/2)(x+2) = (2x-1)(x+2)

2. Domaine de définition

Le dénominateur s'annule pour x = 2 et x = -1

D_f = ℝ {-1 ; 2}

3. Limites en ±∞ — Asymptote horizontale

On divise numérateur et dénominateur par x² :

f(x) = (2 + 3/x - 2/x²)/(1 - 1/x - 2/x²)

Quand x → ±∞ : tous les termes en 1/x et 1/x² tendent vers 0

lim_x→±∞ f(x) = 2

La droite y = 2 est asymptote horizontale à la courbe en +∞ et en -∞.

4. Limites aux points exclus

On a : f(x) = (2x-1)(x+2) / [(x-2)(x+1)]

En x = -1 :

Numérateur : (2(-1)-1)((-1)+2) = (-3)(1) = -3 ≠ 0

Dénominateur : (x+1) → 0, (x-2) → -3

lim_x→-1⁺ f(x) : le signe de (x+1) → 0⁺, donc f(x) → -3/(0⁺ × (-3)) = -3/0⁻ = +∞

lim_x→-1⁻ f(x) → -3/0⁺ = -∞ (car (x+1) → 0⁻)

La droite x = -1 est asymptote verticale.

En x = 2 :

Numérateur : (2·2-1)(2+2) = 3·4 = 12 ≠ 0

Dénominateur : (x-2) → 0, (x+1) → 3

lim_x→2⁺ f(x) = 12/(0⁺ × 3) = +∞ et lim_x→2⁻ f(x) = -∞

La droite x = 2 est aussi une asymptote verticale.

5. Prolongement par continuité en x = 2

Puisque lim_x→2 f(x) = ±∞, la limite n'existe pas (finie).

La discontinuité en x = 2 n'est pas évitable. Il est impossible de prolonger f par continuité en x = 2.

Détermination de paramètres pour la continuité

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f la fonction définie sur ℝ par :

f(x) = ax + b si x < 0

f(x) = x² + 2 si 0 ≤ x < 1

f(x) = 3x - 1 si x ≥ 1

Déterminer les valeurs de a et b pour que f soit continue sur ℝ.

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Correction détaillée

Analyse des points de raccordement

f est définie par trois expressions différentes. Elle est continue sur ]-∞, 0[, [0, 1[ et [1, +∞[ car ce sont des fonctions classiques (polynômes, etc.).

Les seuls points critiques sont x = 0 et x = 1.

Continuité en x = 0

Limite à gauche : lim_x→0⁻ f(x) = lim_x→0⁻ (ax+b) = a·0 + b = b

Valeur en 0 : f(0) = 0² + 2 = 2 (on utilise la branche 0 ≤ x < 1)

Condition de continuité en 0 :

lim_x→0⁻ f(x) = f(0) ⟹ b = 2

Continuité en x = 1

Limite à gauche : lim_x→1⁻ f(x) = lim_x→1⁻ (x²+2) = 1 + 2 = 3

Valeur en 1 : f(1) = 3·1 - 1 = 2 (on utilise la branche x ≥ 1)

Condition de continuité en 1 :

lim_x→1⁻ f(x) = f(1) ⟹ 3 = 2

C'est une contradiction ! Cette condition ne dépend pas de a ou b.

Remarquons que : lim_x→1⁻(x²+2) = 3 et f(1) = 3(1)-1 = 2, donc 3 ≠ 2.

Il est impossible de rendre f continue en x = 1, quelle que soit la valeur de a.

Conclusion

Pour la continuité en x = 0 : b = 2, et a est quelconque.

La valeur a peut être n'importe quel réel (la continuité en 0 ne contraint pas a).

En revanche, f ne peut pas être continue en x = 1 car les deux branches donnent des valeurs différentes (3 et 2) indépendamment de a et b.

Note : si l'énoncé demandait uniquement la continuité en 0, la réponse est b = 2, a ∈ ℝ.

TVI — Existence et localisation de racines

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = x³ - 3x + 1.

Montrer que f admet au moins trois racines réelles distinctes en appliquant le Théorème des Valeurs Intermédiaires.
Localiser chacune des trois racines dans un intervalle de longueur 1.
En étudiant les variations de f, montrer que f admet exactement trois racines réelles.

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Correction détaillée

1. Application du TVI

f est un polynôme, donc f est continue sur ℝ.

Calculons f en quelques points entiers :

f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1 < 0
f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 > 0
f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 > 0
f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0
f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0

Par le TVI :

f(-2) < 0 < f(-1) → f s'annule sur ]-2, -1[
f(0) > 0 > f(1) → f s'annule sur ]0, 1[
f(1) < 0 < f(2) → f s'annule sur ]1, 2[

f admet au moins trois racines réelles.

2. Localisation des racines

D'après le TVI :

Racine α₁ ∈ ]-2 ; -1[ (longueur 1) : f(-2) = -1 < 0 et f(-1) = 3 > 0
Racine α₂ ∈ ]0 ; 1[ (longueur 1) : f(0) = 1 > 0 et f(1) = -1 < 0
Racine α₃ ∈ ]1 ; 2[ (longueur 1) : f(1) = -1 < 0 et f(2) = 3 > 0

3. Exactement trois racines — Étude des variations

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x-1)(x+1)

f'(x) = 0 ⟺ x = -1 ou x = 1

x	-∞		-1		1		+∞
f'(x)		+	0	-	0	+
f(x)	-∞	↗	3	↘	-1	↗	+∞

f est strictement croissante sur ]-∞, -1], admet un maximum local f(-1) = 3 > 0, puis décroît jusqu'à f(1) = -1 < 0, puis croit vers +∞.

Comme f(-1) = 3 > 0 et f(1) = -1 < 0, et f est strictement monotone sur chaque intervalle, chaque arc de courbe coupe l'axe des abscisses exactement une fois.

f admet exactement trois racines réelles.

Limites en ±∞ et asymptotes — Fonction irrationnelle

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = √(x²+x+1) - x.

Montrer que f est définie sur ℝ tout entier.
Calculer lim_x→+∞ f(x) et lim_x→-∞ f(x).
En déduire les asymptotes de la courbe de f.

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Correction détaillée

1. Domaine de définition

f est définie si et seulement si x²+x+1 ≥ 0.

Étudions le discriminant du trinôme x²+x+1 :

Δ = 1² - 4·1·1 = 1 - 4 = -3 < 0

Comme Δ < 0 et le coefficient de x² est positif (= 1), le trinôme est strictement positif pour tout x ∈ ℝ.

Donc √(x²+x+1) est bien défini pour tout x ∈ ℝ.

D_f = ℝ.

2. Limite en +∞

Forme indéterminée ∞ - ∞. On multiplie par l'expression conjuguée :

f(x) = (√(x²+x+1) - x) · (√(x²+x+1) + x) / (√(x²+x+1) + x)

= (x²+x+1 - x²) / (√(x²+x+1) + x)

= (x+1) / (√(x²+x+1) + x)

Quand x → +∞ : √(x²+x+1) = x√(1 + 1/x + 1/x²) ~ x(1 + 1/(2x)) = x + 1/2

Donc √(x²+x+1) + x ~ 2x

f(x) ~ (x+1)/(2x) ~ 1/2

lim_x→+∞ f(x) = 1/2

Limite en -∞

f(x) = (x+1) / (√(x²+x+1) + x)

Quand x → -∞ : x < 0, donc √(x²+x+1) = |x|√(1+1/x+1/x²) = -x·√(1+1/x+1/x²) ~ -x

Donc √(x²+x+1) + x ~ -x + x = 0

Plus précisément : √(x²+x+1) ~ -x - 1/2 + ...

√(x²+x+1) + x ~ -1/2

f(x) = (x+1)/(√(x²+x+1) + x) ~ x / (-1/2) → +∞ (car x → -∞ et -1/2 < 0)

lim_x→-∞ f(x) = +∞

3. Asymptotes

En +∞ : lim_x→+∞ f(x) = 1/2 (finie)

La droite y = 1/2 est asymptote horizontale à la courbe en +∞.

En -∞ : f(x) → +∞, donc pas d'asymptote horizontale en -∞.

Cherchons une asymptote oblique : lim_x→-∞ f(x)/x = lim (√(x²+x+1) - x)/x

= lim (√(1+1/x+1/x²) - 1) [en divisant par x < 0 : √(x²...)/x = -√(1+...)]

= lim (-√(1+1/x+1/x²) - 1) = -1 - 1 = -2

Puis : lim_x→-∞ [f(x) - (-2x)] = lim (√(x²+x+1) - x + 2x) = lim (√(x²+x+1) + x)

On a montré que √(x²+x+1) + x ~ -1/2 quand x → -∞

La droite y = -2x - 1/2 est asymptote oblique en -∞.

🔴 Exercices Difficiles

5 exercices

Étude d'une fonction et continuité (Bac niveau)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f définie sur ℝ par :

f(x) = (x² - 1)/(|x| - 1) si x ≠ ±1
f(1) = 2, f(-1) = a (a ∈ ℝ à déterminer)

Étudier la continuité de f en x = 1.
Déterminer a pour que f soit continue en x = -1.
Calculer lim_x→+∞ f(x) et lim_x→-∞ f(x).
Étudier la dérivabilité de f en x = 0.

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Correction détaillée

1. Continuité en x = 1

Pour x > 0 et x ≠ 1 : |x| = x, donc f(x) = (x²-1)/(x-1) = (x-1)(x+1)/(x-1) = x+1

lim_x→1⁺ f(x) = 1+1 = 2 = f(1)

Pour x → 1⁻ (x proche de 1, x > 0) : même formule f(x) = x+1 → 2

Donc lim_x→1 f(x) = 2 = f(1) : f est continue en 1. ✓

2. Continuité en x = -1

Pour x < 0 et x ≠ -1 : |x| = -x, donc f(x) = (x²-1)/(-x-1) = (x-1)(x+1)/(-(x+1)) = -(x-1) = 1-x

lim_x→-1 f(x) = 1-(-1) = 2

Pour f continue en -1 : f(-1) = 2, donc a = 2. ✓

3. Limites en ±∞

Pour x → +∞ : f(x) = x+1 → +∞

Pour x → -∞ : f(x) = 1-x → +∞

4. Dérivabilité en x = 0

Pour x > 0 proche de 0 : f(x) = x+1, taux d'accroissement = (f(x)-f(0))/(x-0) = (x+1-1)/x = 1

Pour x < 0 proche de 0 : f(x) = 1-x, taux d'accroissement = (1-x-1)/x = -x/x = -1

Limite à droite = 1 ≠ -1 = limite à gauche.

f n'est pas dérivable en 0 (elle admet cependant un angle = point anguleux). ✓

Continuité - Problème complet (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f la fonction définie par :

f(x) = (x² - x + 1)·e^-x + x - 1 si x ≥ 0

f(x) = x + sin(x)·(e^x - 1)/x si x < 0 (x ≠ 0)

Étudier la continuité de f en 0.
Montrer que l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions dans ℝ.

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Correction détaillée

1. Continuité en 0

Limite à droite : lim_x→0⁺ f(x) = (0-0+1)·e⁰ + 0 - 1 = 1 - 1 = 0

f(0) : f(0) = (1)·1 + 0 - 1 = 0

Limite à gauche : lim_x→0⁻ f(x) = lim (x + sin(x)·(e^x-1)/x)

= 0 + sin(0)·lim(e^x-1)/x... En fait :

sin(x)·(e^x-1)/x = (sin(x)/x)·(e^x-1) → 1·0 = 0

Donc lim_x→0⁻ f(x) = 0 + 0 = 0

lim à gauche = lim à droite = f(0) = 0. f est continue en 0. ✓

2. Solutions de f(x) = 0

Sur [0, +∞[ : f(0) = 0, et f'(x) = -(x²-3x+2)e^-x + 1 > 0 pour x grand.

f(x) ~ x quand x → +∞, donc f(x) → +∞. On montre f a un minimum négatif puis recoupe 0.

x = 0 est une solution. Étude de f' montre une autre solution.

Sur ]-∞, 0[ : Pour x très négatif, f(x) ~ x → -∞ et f(0⁻) = 0.

L'étude de la monotonie montre f strictement croissante sur un voisinage, donnant la deuxième solution.

Étude complète BAC — Asymptote oblique

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = (x²-x-2)/(x-1).

Déterminer le domaine de définition D_f.
Calculer les limites aux bornes du domaine.
Montrer que la droite (D) : y = x est asymptote oblique à la courbe de f en ±∞.
Étudier les variations de f et dresser le tableau de variations.
Tracer la courbe de f en indiquant (D).

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Correction détaillée

1. Domaine de définition

f est définie pour x - 1 ≠ 0, soit x ≠ 1.

D_f = ℝ {1} = ]-∞, 1[ ∪ ]1, +∞[

2. Limites

En ±∞ :

f(x) = (x²-x-2)/(x-1). Division euclidienne de x²-x-2 par x-1 :

x²-x-2 = (x-1)·x + (-2) [car x·(x-1) = x²-x, reste = -2]

Donc f(x) = x + (-2)/(x-1) = x - 2/(x-1)

Quand x → ±∞ : 2/(x-1) → 0, donc lim f(x) = ±∞ (même signe que x)

En x = 1 :

Numérateur : 1 - 1 - 2 = -2 ≠ 0

Dénominateur : x - 1 → 0

lim_x→1⁺ f(x) = -2/0⁺ = -∞

lim_x→1⁻ f(x) = -2/0⁻ = +∞

La droite x = 1 est asymptote verticale.

3. Asymptote oblique y = x

On a montré : f(x) = x - 2/(x-1)

Donc : f(x) - x = -2/(x-1)

lim_x→±∞ [f(x) - x] = lim_x→±∞ (-2/(x-1)) = 0

La différence f(x) - x tend vers 0, donc la droite y = x est bien asymptote oblique à la courbe en ±∞.

4. Variations

f(x) = x - 2/(x-1) = x - 2(x-1)^-1

f'(x) = 1 + 2/(x-1)² = 1 + 2(x-1)^-2

Or (x-1)² > 0 pour tout x ≠ 1, donc 2/(x-1)² > 0

f'(x) = 1 + 2/(x-1)² > 1 > 0 pour tout x ∈ D_f

f est strictement croissante sur chacun des intervalles ]-∞, 1[ et ]1, +∞[.

x	-∞		1		+∞
f'(x)		+	\|\|	+
f(x)	-∞	↗	\|\|	↗	+∞

5. Tracé de la courbe

Points remarquables : f(0) = (0-0-2)/(0-1) = -2/(-1) = 2. Point (0, 2).

f(-1) = (1+1-2)/(-1-1) = 0/(-2) = 0. Point (-1, 0).

f(3) = (9-3-2)/(3-1) = 4/2 = 2. Point (3, 2).

La courbe est tracée sur ]-∞, 1[ et ]1, +∞[, avec une asymptote verticale x = 1 et l'asymptote oblique y = x. La courbe est toujours en dessous de y = x sur ]1, +∞[ et au-dessus sur ]-∞, 1[.

Continuité et dérivabilité en un point — f(0)=1

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f la fonction définie par :

f(x) = (e^x - 1)/x si x ≠ 0

f(0) = 1

Montrer que f est continue en 0.
f est-elle dérivable en 0 ? Calculer f'(0) si elle l'est.
Donner l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0.

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Correction détaillée

1. Continuité en 0

On doit vérifier que lim_x→0 f(x) = f(0) = 1.

Pour x ≠ 0 : f(x) = (e^x-1)/x

On utilise le développement limité de e^x au voisinage de 0 :

e^x = 1 + x + x²/2 + ...

Donc : e^x - 1 = x + x²/2 + ...

(e^x-1)/x = 1 + x/2 + ... → 1 quand x → 0

On peut aussi le voir comme la limite fondamentale : lim_x→0 (e^x-1)/x = 1 (dérivée de e^x en 0)

lim_x→0 f(x) = 1 = f(0)

f est continue en 0. ✓

2. Dérivabilité en 0

On calcule le taux d'accroissement en 0 :

[f(x) - f(0)] / (x - 0) = [(e^x-1)/x - 1] / x

= [(e^x-1 - x) / x] / x

= (e^x - 1 - x) / x²

En utilisant le développement : e^x - 1 - x = x²/2 + x³/6 + ...

(e^x - 1 - x)/x² = 1/2 + x/6 + ... → 1/2 quand x → 0

La limite existe et vaut 1/2, donc f est dérivable en 0 et f'(0) = 1/2.

3. Équation de la tangente en x = 0

La tangente en un point (x₀, f(x₀)) a pour équation :

y = f(x₀) + f'(x₀)·(x - x₀)

Ici x₀ = 0, f(0) = 1, f'(0) = 1/2 :

y = 1 + (1/2)·(x - 0)

Équation de la tangente : y = x/2 + 1

Problème BAC — Étude de f(x) = √x - ln(x)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = √x - ln(x) définie sur ]0, +∞[.

Calculer lim_x→0⁺ f(x) et lim_x→+∞ f(x).
Calculer f'(x) et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de f et déterminer le minimum de f.
En déduire que f(x) ≥ 1 pour tout x > 0, avec égalité en x = 1.

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Correction détaillée

1. Limites aux bornes

En 0⁺ :

lim_x→0⁺ √x = 0

lim_x→0⁺ ln(x) = -∞

f(x) = √x - ln(x) → 0 - (-∞) = +∞

lim_x→0⁺ f(x) = +∞

En +∞ :

lim_x→+∞ √x = +∞

lim_x→+∞ ln(x) = +∞

Forme indéterminée. On factorise par √x :

f(x) = √x - ln(x) = √x(1 - ln(x)/√x)

Or lim_x→+∞ ln(x)/√x = 0 (croissances comparées)

Donc f(x) ~ √x → +∞

lim_x→+∞ f(x) = +∞

2. Dérivée et signe

f'(x) = 1/(2√x) - 1/x (pour x > 0)

f'(x) = 1/(2√x) - 1/x = [x - 2√x] / (2x·√x)

Posons u = √x (u > 0) : x - 2√x = u² - 2u = u(u-2)

f'(x) = √x(√x - 2) / (2x√x) = (√x - 2) / (2x)

Le dénominateur 2x > 0 pour x > 0.

Signe de f'(x) = signe de (√x - 2) :

√x - 2 < 0 ⟺ √x < 2 ⟺ x < 4 : f'(x) < 0
√x - 2 = 0 ⟺ x = 4 : f'(4) = 0
√x - 2 > 0 ⟺ x > 4 : f'(x) > 0

3. Tableau de variations et minimum

x	0		4		+∞
f'(x)		-	0	+
f(x)	+∞	↘	f(4)	↗	+∞

f(4) = √4 - ln(4) = 2 - ln(4) = 2 - 2ln(2)

ln(2) ≈ 0.693, donc 2 - 2ln(2) ≈ 2 - 1.386 = 0.614 > 0

f admet un minimum global en x = 4, valant f(4) = 2 - 2ln(2) ≈ 0.614.

4. Démonstration de f(x) ≥ 1

Attendez — le minimum de f est f(4) = 2 - 2ln(2) ≈ 0.614, qui est bien inférieur à 1.

Vérifions f(1) : f(1) = √1 - ln(1) = 1 - 0 = 1.

En fait, l'inégalité f(x) ≥ 1 n'est pas vraie pour tout x > 0 (par exemple f(4) ≈ 0.614 < 1).

L'inégalité classique est : f(x) ≥ f(1) = 1 est fausse. La bonne inégalité est :

Montrons plutôt que le minimum de f est positif, et que ln(x) ≤ √x pour tout x > 0 :

Le minimum de f est f(4) = 2 - 2ln(2) > 0 (puisque ln(2) < 1 < 2/2).

Donc f(x) = √x - ln(x) ≥ 2 - 2ln(2) > 0 pour tout x > 0.

Cela prouve que ln(x) < √x pour tout x > 0.

Par ailleurs, f(1) = 1 est un maximum local : f'(1) = (1-2)/(2·1) = -1/2 < 0 (f décroît en 1), donc x=1 n'est pas un extremum.

Conclusion : f(x) ≥ 2 - 2·ln(2) > 0 pour tout x > 0, avec minimum en x = 4.

Limites et continuité

Limites et continuité — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Limites d'une fonction

Limites en un point

Limites de référence

Formes indéterminées

Opérations sur les limites

II. Croissances comparées

Au voisinage de +∞

III. Continuité

Définition

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

IV. Prolongement par continuité

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Limites et continuité — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Calcul de limites simples

1.

2.

3.

4.

Continuité et TVI

1.

2.

3.

4.

Formes indéterminées - Conjugués et factorisation

1. Forme ∞ - ∞ (conjugué)

2. Forme 0/0 (factorisation)

3. Forme ∞/∞ (diviser par x³)

4. Forme 0/0 (conjugué)

Calcul de limites variées

1. limx→+∞ (3x²-2x+1)/(x²+5)

2. limx→2 (x²-4)/(x-2)

3. limx→0 sin(3x)/x

4. limx→+∞ (√(x²+1) - x)

Continuité et prolongement par continuité

1. Calcul de limx→1 f(x)

2. Continuité en x = 1

3. Prolongement par continuité

4. Nature de la courbe

Limites impliquant cos, exponentielle et logarithme

1. limx→0 (1-cos x)/x²

2. limx→+∞ x·e-x

3. limx→0⁺ x·ln(x)

4. limx→+∞ ln(x)/x

🟡 Exercices Intermédiaires

Limites et formes indéterminées

1.

2.

3.

4.

5.

Prolongement par continuité et asymptotes

1. Prolongement de f en 0

2. Prolongement de g en 1

3. Asymptote oblique de h

TVI et localisation de racines

1.

2. Existence et unicité de α

3. Encadrement de α

4.

Asymptotes et continuité d'une fraction rationnelle

1. Factorisation

2. Domaine de définition

3. Limites en ±∞ — Asymptote horizontale

4. Limites aux points exclus

5. Prolongement par continuité en x = 2

Détermination de paramètres pour la continuité

Analyse des points de raccordement

Continuité en x = 0

Continuité en x = 1

Conclusion

TVI — Existence et localisation de racines

1. lim_x→+∞ (3x²-2x+1)/(x²+5)

2. lim_x→2 (x²-4)/(x-2)

3. lim_x→0 sin(3x)/x

4. lim_x→+∞ (√(x²+1) - x)

1. Calcul de lim_x→1 f(x)

1. lim_x→0 (1-cos x)/x²

2. lim_x→+∞ x·e^-x

3. lim_x→0⁺ x·ln(x)

4. lim_x→+∞ ln(x)/x