Énoncé On considère la fonction f définie sur D f = [ − 2 ; + ∞ [ par : f ( x ) = x 2 − x − 2 3 x 2 − 4 x − 4 si x > 2 , f ( x ) = x + 2 − 2 x 2 + 5 − 3 si − 2 ≤ x < 2 , f ( 2 ) = 3 8 . Montrer que f est continue au point 2 . Étudier la continuité de f sur D f .

Continuité d'une fonction définie par morceaux

Intermédiaire

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $D_{f} = [- 2; + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{3 x ^{2} - 4 x - 4}{x ^{2} - x - 2}$ si $x > 2$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 5 - 3}{x + 2 - 2}$ si $- 2 \leq x < 2$ , $f (2) = \frac{8}{3}$ .

Montrer que $f$ est continue au point $2$ .
Étudier la continuité de $f$ sur $D_{f}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer la continuité en $2$, calcule séparément les limites à gauche et à droite de $2$, puis compare-les avec $f(2) = \dfrac{8}{3}$.

2 Indice 2

À droite, factorise le numérateur et le dénominateur pour simplifier par $(x-2)$. À gauche, multiplie par les conjuguées $\sqrt{x^2+5}+3$ et $\sqrt{x+2}+2$ pour lever la forme indéterminée.

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Pour montrer la continuité en $2$ , calcule séparément les limites à gauche et à droite de $2$ , puis compare-les avec $f (2) = \frac{8}{3}$ .

À droite, factorise le numérateur et le dénominateur pour simplifier par $(x - 2)$ . À gauche, multiplie par les conjuguées $x^{2} + 5 + 3$ et $x + 2 + 2$ pour lever la forme indéterminée.

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