Continuité par encadrement (théorème des gendarmes)

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Soit la fonction définie sur par :

pour ,

Montrer que est continue au point et au point .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer la continuité en $0$, cherche à encadrer $|f(x)|$. Rappelle-toi que $|\sin(u)| \le 1$ pour tout réel $u$. Peux-tu majorer l'un des deux facteurs du produit ?
2 Indice 2
Majore $|f(x)|$ par $\left|\sin\!\left(\dfrac{\pi}{1-x}\right)\right|$ car l'autre sinus est borné par $1$. Maintenant, que vaut $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\pi}{1-x}$ ? Utilise la continuité du sinus et le théorème des gendarmes.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer la continuité en , cherche à encadrer . Rappelle-toi que pour tout réel . Peux-tu majorer l'un des deux facteurs du produit ?

Majore par car l'autre sinus est borné par . Maintenant, que vaut ? Utilise la continuité du sinus et le théorème des gendarmes.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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