TVI — Existence et localisation de racines

Intermédiaire
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Énoncé

Soit .

  1. Montrer que admet au moins trois racines réelles distinctes en appliquant le Théorème des Valeurs Intermédiaires.
  2. Localiser chacune des trois racines dans un intervalle de longueur .
  3. En étudiant les variations de , montrer que admet exactement trois racines réelles.

Indices

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1 Indice 1
Pour appliquer le TVI, commence par calculer $f(x)$ en quelques points entiers simples (par exemple $f(-2)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$) et repère les changements de signe.
2 Indice 2
Une fois les trois racines localisées par le TVI, calcule la dérivée $f'(x) = 3x^2 - 3$ et factorise-la pour trouver les points critiques qui te donneront le tableau de variations.

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La méthode — par où commencer

Pour appliquer le TVI, commence par calculer en quelques points entiers simples (par exemple , , , , ) et repère les changements de signe.

Une fois les trois racines localisées par le TVI, calcule la dérivée et factorise-la pour trouver les points critiques qui te donneront le tableau de variations.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Détermination de paramètres pour la continuité Tous les exercices du chapitre Limites en ±∞ et asymptotes — Fonction irrationnelle