Limite en zéro et continuité prolongeable

Exercice 1 — Limite en zéro et prolongement par continuité

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ par :

$f(x)=\frac{e^x-1}{3x}$

1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. Justifier soigneusement en précisant la limite de référence utilisée.
2. La fonction $f$ admet-elle un prolongement par continuité en $0$ ? Si oui, définir la fonction $g$ prolongement de $f$, et préciser sa valeur en $0$.
3. Étudier la continuité de $g$ sur $\mathbb{R}$.