Limite en 0 et continuité prolongeable

Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ par :

$f(x)=\frac{e^x-1}{3x}$

1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. On pourra utiliser la limite de référence $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$.
2. La fonction f est-elle prolongeable par continuité en $0$ ? Si oui, définir le prolongement $\tilde{f}$ et préciser sa valeur en $0$.
3. Étudier la continuité de $\tilde{f}$ sur $\mathbb{R}$.