Étude de fonction avec croissances comparées

Exercice 3

Soit la fonction h définie sur $]0;+\infty [$ par :

$h(x)=x^2-3\ln (x)-x$

Partie A : Limites aux bornes du domaine

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }h(x)$. (On précisera la forme indéterminée éventuelle et la méthode utilisée.)
2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{h(x)}{x^2}$. En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)$.

Partie B : Étude de la continuité et du signe

3. Montrer que h est continue sur $]0;+\infty [$.
4. On admet que h est dérivable sur $]0;+\infty [$ et que $h^{\prime }(x)=2x-\frac{3}{x}-1$. Étudier le signe de $h^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de h.
5. En déduire le nombre de zéros de h sur $]0;+\infty [$.