Énoncé On considère la fonction F définie pour x > 0 par : F ( x ) = x ∫ 2 x ln ( 1 + t 2 ) 1 d t Montrer que pour tout x > 0 , il existe c ∈ ] x , 2 x [ tel que F ( x ) = ln ( 1 + c 2 ) x . En déduire que pour tout x > 0 : ln ( 1 + 4 x 2 ) x ≤ F ( x ) ≤ ln ( 1 + x 2 ) x .

Encadrement d'une fonction intégrale par la méthode de la moyenne

Difficile

On considère la fonction $F$ définie pour $x > 0$ par :

$F (x) = x \int 2 x \frac{1}{ln ( 1 + t ^{2} )} d t$

Montrer que pour tout $x > 0$ , il existe $c \in] x, 2 x [$ tel que $F (x) = \frac{x}{ln ( 1 + c ^{2} )}$ .
En déduire que pour tout $x > 0$ : $\frac{x}{ln ( 1 + 4 x ^{2} )} \leq F (x) \leq \frac{x}{ln ( 1 + x ^{2} )}$ .

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1 Indice 1

Pense au theoreme de la moyenne pour les integrales, applique sur l'intervalle $[x,2x]$.

2 Indice 2

Ecris que $F(x)=x\cdot g(c)$ ou $g(t)=\dfrac{1}{\ln(1+t^2)}$, avec $c$ entre $x$ et $2x$.

3 Indice 3

Utilise la monotonie de $t\mapsto 1+t^2$ puis de $\ln$ pour encadrer $\ln(1+c^2)$ entre $\ln(1+x^2)$ et $\ln(1+4x^2)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pense au theoreme de la moyenne pour les integrales, applique sur l'intervalle $[x, 2 x]$ .

Ecris que $F (x) = x \cdot g (c)$ ou $g (t) = \frac{1}{ln ( 1 + t ^{2} )}$ , avec $c$ entre $x$ et $2 x$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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