Fonction définie par une intégrale, IPP et somme de Riemann

Difficile
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On considère la fonction définie sur par :

  1. Déterminer le signe de selon les valeurs de , puis montrer que est dérivable sur et calculer .

  2. Montrer que , puis en déduire la valeur de .

  3. On pose, pour , . Montrer que converge et déterminer sa limite.

Indices

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1 Indice 1
$F$ est definie comme integrale d'une fonction continue et strictement positive : $F$ est donc la primitive s'annulant en 0, et son signe depend du sens de l'integration (bornes croissantes ou decroissantes).
2 Indice 2
Pour la question 2, faites une integration par parties en posant $u(x) = x-1$ et $v'(x) = F'(x)$ ; le terme tout integre s'annule grace a $F(0)=0$ et au facteur $(x-1)$ en $x=1$.
3 Indice 3
Reconnaissez ensuite que l'integrale restante est de la forme $\\int g'(x) e^{g(x)} dx$ avec $g(x) = x - x^2/2$. Pour la question 3, identifiez une somme de Riemann de $F$ sur $[0,1]$.

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La méthode — par où commencer

est definie comme integrale d'une fonction continue et strictement positive : est donc la primitive s'annulant en 0, et son signe depend du sens de l'integration (bornes croissantes ou decroissantes).

Pour la question 2, faites une integration par parties en posant et ; le terme tout integre s'annule grace a et au facteur en .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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