Énoncé Calculer la limite suivante : n → + ∞ lim ( n 1 k = 1 ∏ n ( n + k ) ) n 1

Limite d'une moyenne géométrique des (n+k)

Difficile

Calculer la limite suivante :

$n \to + \infty lim (\frac{1}{n} k = 1 \prod n (n + k))^{\frac{1}{n}}$

— clique pour révéler

1 Indice 1

Comme l'expression est positive, passe au logarithme : pose $S_n = \\ln u_n$ et transforme le produit en somme.

2 Indice 2

Fais apparaître une somme de Riemann en écrivant $n+k = n\\left(1+\\dfrac{k}{n}\\right)$ et en séparant les logarithmes.

3 Indice 3

Reconnais la limite de $S_n$ comme une intégrale $\\int_0^1 \\ln(1+x)\\,dx$, calcule-la par parties, puis reviens à $u_n = e^{S_n}$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Comme l'expression est positive, passe au logarithme : pose $S_{n} = l n u_{n}$ et transforme le produit en somme.

Fais apparaître une somme de Riemann en écrivant $n + k = n l e f t (1 + df r a c k n r i g h t)$ et en séparant les logarithmes.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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