Soit f la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = x ( 1 − ln x ) pour x > 0 et f ( 0 ) = 0 . On pose, pour x > 0 , h ( x ) = x 2 ( 4 3 − 2 ln x ) . Montrer que h est une primitive de f sur R + ∗ . En déduire e x ∫ 1 f ( t ) d t en fonction de x (pour x ≤ 0 ), puis montrer que x → − ∞ lim e x ∫ 1 f ( t ) d t = 4 3 .

Primitive de $x\,(1-\ln x)$ et limite d'une intégrale

Intermédiaire

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = x (1 - ln x)$ pour $x > 0$ et $f (0) = 0$ . On pose, pour $x > 0$ , $h (x) = x^{2} (\frac{3}{4} - \frac{ln x}{2})$ .

Montrer que $h$ est une primitive de $f$ sur $R_{+}^{*}$ .
En déduire $e^{x} \int 1 f (t) d t$ en fonction de $x$ (pour $x \leq 0$ ), puis montrer que $x \to - \infty lim e^{x} \int 1 f (t) d t = \frac{3}{4}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour vérifier que $h$ est une primitive de $f$, calcule $h'(x)$ en dérivant terme par terme : pense à la dérivée de $x^2 \ln x$ avec la règle du produit $(uv)'=u'v+uv'$.

2 Indice 2

Pour l'intégrale, utilise $\displaystyle\int_{e^x}^{1} f(t)\,dt = h(1) - h(e^x)$. Calcule $h(1)$ directement, puis remplace $e^x$ dans $h$ en te rappelant que $\ln(e^x) = x$.

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Pour vérifier que $h$ est une primitive de $f$ , calcule $h^{'} (x)$ en dérivant terme par terme : pense à la dérivée de $x^{2} ln x$ avec la règle du produit $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .

Pour l'intégrale, utilise $e^{x} \int 1 f (t) d t = h (1) - h (e^{x})$ . Calcule $h (1)$ directement, puis remplace $e^{x}$ dans $h$ en te rappelant que $ln (e^{x}) = x$ .

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