Calcul de $\int_0^1 (t+\arctan t)\,dt$ et fonction $F(x)=\int_x^{2x}\frac{dt}{t+\arctan t}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+\arctan x$.

1. Étudier le signe de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2. Calculer $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$.
3. Soit $F(x)=\underset{x}{\overset{2x}{\int }}\frac{1}{f(t)}dt$ pour $x\ne 0$. Montrer que $F$ est paire.
4. Montrer que pour tout $t>0$, $\frac{1}{t+\frac{\pi }{2}}<\frac{1}{f(t)}<\frac{1}{t}$, et en déduire que $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=\ln 2$.