Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = 1 + e 2 x 1 . Montrer que f est dérivable sur R et que f ′ ( x ) = ( 1 + e 2 x ) 1 + e 2 x − e 2 x . En déduire le sens de variation de f . Calculer x → + ∞ lim f ( x ) et x → − ∞ lim f ( x ) , et vérifier que 0 < f ( x ) < 1 sur R . Montrer que h ( x ) = x − ln ( 1 + 1 + e 2 x ) est une primitive de f sur R . Soit α > 0 . Calculer l'aire A du domaine délimité par ( C f ) , l'axe ( O x ) et les droites x = 0 et x = α , et montrer que A = α + ln ( 1 + 1 + e 2 α 1 + 2 ) .

Primitive de $\frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}$ et calcul d'aire

Difficile

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = \frac{1}{1 + e ^{2 x}}$ .

Montrer que $f$ est dérivable sur $R$ et que $f^{'} (x) = \frac{- e ^{2 x}}{( 1 + e ^{2 x} ) 1 + e ^{2 x}}$ . En déduire le sens de variation de $f$ .
Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ et $x \to - \infty lim f (x)$ , et vérifier que $0 < f (x) < 1$ sur $R$ .
Montrer que $h (x) = x - ln (1 + 1 + e^{2 x})$ est une primitive de $f$ sur $R$ .
Soit $α > 0$ . Calculer l'aire $A$ du domaine délimité par $(C_{f})$ , l'axe $(O x)$ et les droites $x = 0$ et $x = α$ , et montrer que $A = α + ln (\frac{1 + 2}{1 + 1 + e ^{2 α}})$ .

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1 Indice 1

Pose $u(x)=1+e^{2x}$ et écris $f=u^{-1/2}$ pour dériver avec la formule $(u^{n})'=n u' u^{n-1}$.

2 Indice 2

Pour les limites, étudie le comportement de $e^{2x}$ en $+\infty$ et en $-\infty$ séparément.

3 Indice 3

Pour $h'$, pose $r(x)=\sqrt{1+e^{2x}}$ et exprime $r'(x)$ en fonction de $r(x)$, puis réduis au même dénominateur en utilisant $r^2=1+e^{2x}$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pose $u (x) = 1 + e^{2 x}$ et écris $f = u^{- 1/2}$ pour dériver avec la formule $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ .

Pour les limites, étudie le comportement de $e^{2 x}$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ séparément.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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