Soit F définie sur ] 0 ; + ∞ [ par F ( x ) = 1/ x ∫ x t 2 + 1 ln t d t . Calculer F ( 1 ) , montrer que F est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ et calculer F ′ ( x ) ; en déduire que F ( x ) = 0 pour tout x > 0 . À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout x > 0 : F ( x ) = ln x ( arctan x + arctan x 1 ) − 1/ x ∫ x t arctan t d t . Sachant que arctan x + arctan x 1 = 2 π pour x > 0 , en déduire que 1/ x ∫ x t arctan t d t = 2 π ln x .

Identité sur arctan via une intégrale nulle

Difficile

Soit $F$ définie sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = 1/ x \int x \frac{ln t}{t ^{2} + 1} d t$ .

Calculer $F (1)$ , montrer que $F$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et calculer $F^{'} (x)$ ; en déduire que $F (x) = 0$ pour tout $x > 0$ .
À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout $x > 0$ : $F (x) = ln x (arctan x + arctan \frac{1}{x}) - 1/ x \int x \frac{arctan t}{t} d t$ .
Sachant que $arctan x + arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}$ pour $x > 0$ , en déduire que $1/ x \int x \frac{arctan t}{t} d t = \frac{π}{2} ln x$ .

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1 Indice 1

Pour la question 1, remarque que les bornes coincident en $x=1$, puis derive $F$ via une primitive de la fonction sous l'integrale.

2 Indice 2

Pour la question 2, fais une integration par parties avec $u=\ln t$ et $w'=\dfrac{1}{t^2+1}$.

3 Indice 3

Pour la question 3, utilise les resultats des questions 1 et 2 avec la relation $\arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2}$.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la question 1, remarque que les bornes coincident en $x = 1$ , puis derive $F$ via une primitive de la fonction sous l'integrale.

Pour la question 2, fais une integration par parties avec $u = ln t$ et $w^{'} = \frac{1}{t ^{2} + 1}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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