Fonction définie par une intégrale : parité et limites

On considère la fonction $g$ définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $g(x)=\underset{x}{\overset{3x}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt$.

1. Montrer que $g$ est paire.

2. Montrer que pour tout $x>0$ : $\underset{x}{\overset{3x}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt=\frac{\sin 3x-3\sin x}{3x}+\underset{x}{\overset{3x}{\int }}\frac{\sin t}{t^2}dt$, puis que $|g(x)|\le \frac{2}{x}$ et en déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$.

3. Montrer que $g(x)-\ln 3=\underset{x}{\overset{3x}{\int }}\frac{\cos t-1}{t}dt$, et en déduire $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$. (On pourra utiliser : pour $t>0$, $0\le 1-\cos t\le t$.)