Soit F définie sur I = ] 0 ; + ∞ [ par F ( x ) = l n 2 ∫ x e t − 1 1 d t . Étudier le signe de F ( x ) selon x , montrer que F est dérivable sur I et calculer F ′ ( x ) ; en déduire que F est strictement croissante. À l'aide du changement de variable u = e t − 1 , montrer que pour tout x ∈ I : F ( x ) = 2 arctan ( e x − 1 ) − 2 π . En déduire x → + ∞ lim F ( x ) et x → 0 + lim F ( x ) . Montrer que F réalise une bijection de I vers un intervalle J à préciser, puis déterminer sa bijection réciproque.

Étude d'une intégrale à bornes variables avec changement de variable

Difficile

Soit $F$ définie sur $I =] 0; + \infty [$ par $F (x) = l n 2 \int x \frac{1}{e ^{t} - 1} d t$ .

Étudier le signe de $F (x)$ selon $x$ , montrer que $F$ est dérivable sur $I$ et calculer $F^{'} (x)$ ; en déduire que $F$ est strictement croissante.
À l'aide du changement de variable $u = e^{t} - 1$ , montrer que pour tout $x \in I$ : $F (x) = 2 arctan (e^{x} - 1) - \frac{π}{2}$ . En déduire $x \to + \infty lim F (x)$ et $x \to 0^{+} lim F (x)$ .
Montrer que $F$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à préciser, puis déterminer sa bijection réciproque.

— clique pour révéler

1 Indice 1

Utilise le théorème fondamental de l'analyse pour obtenir directement $F'(x)$, puis étudie son signe pour la monotonie.

2 Indice 2

Effectue le changement de variable $u=\sqrt{e^{t}-1}$ : exprime $e^t$, $dt$ et les nouvelles bornes en fonction de $u$.

3 Indice 3

Après le changement de variable, l'intégrale se ramène à $\int \frac{2}{u^2+1}\,du$, dont une primitive est $2\arctan u$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Utilise le théorème fondamental de l'analyse pour obtenir directement $F^{'} (x)$ , puis étudie son signe pour la monotonie.

Effectue le changement de variable $u = e^{t} - 1$ : exprime $e^{t}$ , $d t$ et les nouvelles bornes en fonction de $u$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points