Bijectivité d'une fonction définie par une intégrale

Énoncé

On considère $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{t^2}dt$.

1. Montrer que $F$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que pour tout $x>0$ : $F(x)\ge x$, et en déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)$.
3. Montrer que $F$ est impaire, en déduire $\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)$, puis que $F$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$.
4. Montrer que la bijection réciproque $G$ est dérivable en $0$ et calculer $G^{\prime }(0)$.