Bijection et fonction réciproque (TVI)

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Soit la fonction définie sur par :

  1. Montrer que réalise une bijection de vers un intervalle que l'on déterminera.
  2. Déterminer l'expression de pour tout de .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $f$ est une bijection, commence par étudier ses variations : regarde si $f$ est monotone en calculant sa dérivée ou en observant que c'est une somme de fonctions croissantes.
2 Indice 2
Pour trouver $f^{-1}(x)$, pose $y = f^{-1}(x)$, donc $f(y) = x$, ce qui donne $y + \sqrt{y} - 4 = x$. Fais le changement de variable $t = \sqrt{y}$ avec $t \geq 0$ pour obtenir une équation du second degré en $t$.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que est une bijection, commence par étudier ses variations : regarde si est monotone en calculant sa dérivée ou en observant que c'est une somme de fonctions croissantes.

Pour trouver , pose , donc , ce qui donne . Fais le changement de variable avec pour obtenir une équation du second degré en .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Calcul de limites avec racines n-ièmes Tous les exercices du chapitre Existence et unicité d'une racine (TVI + monotonie)