Existence d'un point fixe sur un intervalle (TVI)

Intermédiaire
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Soit une fonction définie et continue sur telle que .

Montrer qu'il existe tel que .

Indices

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1 Indice 1
Tu cherches un point $c$ où deux valeurs de $f$ coïncident. Essaie de construire une fonction auxiliaire $g(x) = f(x + \dfrac{1}{2}) - f(x)$ sur $\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$ et observe ce qui se passe aux bornes.
2 Indice 2
Calcule $g(0)$ et $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$, puis utilise la condition $f(0) = f(1)$ pour trouver une relation entre ces deux valeurs. Que peux-tu en déduire sur leurs signes ?

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La méthode — par où commencer

Tu cherches un point où deux valeurs de coïncident. Essaie de construire une fonction auxiliaire sur et observe ce qui se passe aux bornes.

Calcule et , puis utilise la condition pour trouver une relation entre ces deux valeurs. Que peux-tu en déduire sur leurs signes ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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