Énoncé Soit f une fonction définie sur [ a ; b ] , à valeurs dans [ a ; b ] , telle que pour tous x , y ∈ [ a ; b ] : ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ ∣ x − y ∣. Montrer que f est continue sur [ a ; b ] . Montrer qu'il existe c ∈ [ a ; b ] tel que f ( c ) = c .

Point fixe d'une application contractante

Difficile

Soit $f$ une fonction définie sur $[a; b]$ , à valeurs dans $[a; b]$ , telle que pour tous $x, y \in [a; b]$ :

$∣ f (x) - f (y) ∣ \leq ∣ x - y ∣.$

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1 Indice 1

Pour la continuite, encadre $|f(x)-f(x_0)|$ par $|x-x_0|$ et utilise le theoreme des gendarmes.

2 Indice 2

Pour l'existence du point fixe, introduis la fonction auxiliaire $g(x)=f(x)-x$.

3 Indice 3

Etudie le signe de $g(a)$ et $g(b)$ en utilisant que $f$ est a valeurs dans $[a;b]$, puis applique le TVI.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la continuite, encadre $∣ f (x) - f (x_{0}) ∣$ par $∣ x - x_{0} ∣$ et utilise le theoreme des gendarmes.

Pour l'existence du point fixe, introduis la fonction auxiliaire $g (x) = f (x) - x$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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