Existence et unicité d'une racine (TVI + stricte monotonie)

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Soit fixé et définie par :

  1. Montrer que est strictement croissante sur .
  2. Montrer qu'il existe un unique tel que .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $f_n$ est strictement croissante, décompose-la en deux morceaux : étudie séparément le comportement de $x^n$ et de $-(1-x)^2$ sur $[0;1]$.
2 Indice 2
Pour l'existence de $\alpha_n$, commence par calculer $f_n(0)$ et $f_n(1)$. Que remarques-tu sur leurs signes ? Pense ensuite au théorème des valeurs intermédiaires.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que est strictement croissante, décompose-la en deux morceaux : étudie séparément le comportement de et de sur .

Pour l'existence de , commence par calculer et . Que remarques-tu sur leurs signes ? Pense ensuite au théorème des valeurs intermédiaires.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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