Existence et unicité d'une racine (TVI + monotonie)

Énoncé

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ un entier fixé. On considère la fonction $f_n:[0;1]\to \mathbb{R}$ définie par :

$f_n(x)=x^n-(1-x{)}^2.$

1. Montrer que $f_n$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
2. Montrer qu'il existe un unique ${\alpha }_n\in ]0;1[$ tel que $f_n({\alpha }_n)=0$.