Soit f la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f ( t ) = 3 t e − t . Pour tout x ∈ [ 0 ; + ∞ [ , on pose : F ( x ) = x ∫ 8 x f ( t ) d t . Montrer que F est dérivable sur [ 0 ; + ∞ [ et que pour tout x ≥ 0 : F ′ ( x ) = ( 16 e − 7 x − 1 ) f ( x ) . Montrer que pour tout x ≥ 0 : 0 ≤ F ( x ) ≤ 2 ( 1 − e − 7 x ) f ( x ) . En déduire x → + ∞ lim F ( x ) , puis dresser le tableau de variations de F .

Encadrement d'une intégrale à bornes variables et tableau de variations

Difficile

Soit $f$ la fonction définie sur $[0; + \infty [$ par $f (t) = 3 t e^{- t}$ . Pour tout $x \in [0; + \infty [$ , on pose :

$F (x) = x \int 8 x f (t) d t .$

Montrer que $F$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ et que pour tout $x \geq 0$ : $F^{'} (x) = (16 e^{- 7 x} - 1) f (x)$ .
Montrer que pour tout $x \geq 0$ : $0 \leq F (x) \leq 2 (1 - e^{- 7 x}) f (x)$ .
En déduire $x \to + \infty lim F (x)$ , puis dresser le tableau de variations de $F$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la question 1, exprime $F$ a l'aide d'une primitive $\Phi$ de $f$ : $F(x) = \Phi(8x) - \Phi(x)$, puis derive.

2 Indice 2

Pour la question 2, encadre $f(t)$ sur $[x\,;\,8x]$ en majorant $\sqrt[3]{t}$ par $\sqrt[3]{8x}$ et $e^{-t}$ par $e^{-x}$.

3 Indice 3

Pour la question 3, utilise le theoreme des gendarmes avec l'encadrement obtenu, puis etudie le signe de $F'$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la question 1, exprime $F$ a l'aide d'une primitive $Φ$ de $f$ : $F (x) = Φ (8 x) - Φ (x)$ , puis derive.

Pour la question 2, encadre $f (t)$ sur $[x; 8 x]$ en majorant $3 t$ par $3 8 x$ et $e^{- t}$ par $e^{- x}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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