Suite auxiliaire divergente associée à une même récurrence

On reprend la suite $u_n=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x(1-\ln x{)}^{n}dx$ qui vérifie $u_{n+1}=-\frac{1}{2}+\frac{n+1}{2}{u}_n$ et $\lim u_n=0$. Soit $(v_n{)}_{n\ge 1}$ une suite telle que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $v_{n+1}=-\frac{1}{2}+\frac{n+1}{2}{v}_n$, avec $v_1\ne u_1$.

1. Montrer que pour tout $n\ge 1$ : $|v_n-u_n|=\frac{n!}{2^{n-1}}|v_1-u_1|$.

2. Montrer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }|v_n-u_n|=+\infty$, puis en déduire que $(v_n)$ est divergente.