Pour n ∈ N ∗ , on pose u n = 1 ∫ e x ( 1 − ln x ) n d x . Montrer que pour tout n ∈ N ∗ , u n ≥ 0 . Étudier la monotonie de ( u n ) et en déduire qu'elle converge. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : u n + 1 = − 2 1 + 2 n + 1 u n . Montrer que pour tout n ≥ 2 : n + 1 1 ≤ u n ≤ n − 1 1 , puis déterminer n → + ∞ lim u n et n → + ∞ lim n u n .

Suite d'intégrales : monotonie, récurrence et encadrement

Difficile

Pour $n \in N^{*}$ , on pose $u_{n} = 1 \int e x (1 - ln x)^{n} d x$ .

Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ , $u_{n} \geq 0$ .
Étudier la monotonie de $(u_{n})$ et en déduire qu'elle converge.
Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $u_{n + 1} = - \frac{1}{2} + \frac{n + 1}{2} u_{n}$ .
Montrer que pour tout $n \geq 2$ : $\frac{1}{n + 1} \leq u_{n} \leq \frac{1}{n - 1}$ , puis déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ et $n \to + \infty lim n u_{n}$ .

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1 Indice 1

Pour la positivité, observe le signe de $1-\\ln x$ sur $[1,e]$ ; comme $x\\geq 1 > 0$, conclus sur le signe de l'intégrande.

2 Indice 2

Pour la monotonie, calcule $u_{n+1}-u_n$ en factorisant l'intégrande et en étudiant le signe du facteur restant sur $[1,e]$.

3 Indice 3

Pour la relation de récurrence, effectue une intégration par parties avec $f'(x)=x$ et $g(x)=(1-\\ln x)^{n+1}$.

4 Indice 4

Pour l'encadrement final, utilise $u_{n+1}\\geq 0$ et $u_{n+1}\\leq u_n$ appliqués à la relation de récurrence trouvée précédemment.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la positivité, observe le signe de $1 - l n x$ sur $[1, e]$ ; comme $x g e q 1 > 0$ , conclus sur le signe de l'intégrande.

Pour la monotonie, calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ en factorisant l'intégrande et en étudiant le signe du facteur restant sur $[1, e]$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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