Pour n ∈ N , on pose S n = k = 0 ∑ n k + 1 ( − 1 ) k . Montrer que pour tout t ∈ R ∖ { − 1 } : k = 0 ∑ n ( − 1 ) k t k = 1 + t 1 + 1 + t ( − 1 ) n t n + 1 . En déduire que pour tout n ∈ N : S n = ln 2 + ( − 1 ) n 0 ∫ 1 1 + t t n + 1 d t . Montrer que n → + ∞ lim S n = ln 2 .

Somme alternée et convergence vers ln 2

Difficile

Énoncé

Pour $n \in N$ , on pose $S_{n} = k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k + 1}$ .

Montrer que pour tout $t \in R ∖ {- 1}$ : $k = 0 \sum n (- 1)^{k} t^{k} = \frac{1}{1 + t} + \frac{( - 1 ) ^{n} t ^{n + 1}}{1 + t}$ .
En déduire que pour tout $n \in N$ : $S_{n} = ln 2 + (- 1)^{n} 0 \int 1 \frac{t ^{n + 1}}{1 + t} d t$ .
Montrer que $n \to + \infty lim S_{n} = ln 2$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, reconnais une somme géométrique de raison $-t$ et utilise la formule $\displaystyle\sum_{k=0}^n q^k = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

2 Indice 2

Pour la question 2, intègre l'égalité de la question 1 terme à terme entre $0$ et $1$, en reconnaissant $\ln(1+t)$ comme primitive de $\dfrac{1}{1+t}$.

3 Indice 3

Pour la question 3, majore $\left|\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t^{n+1}}{1+t}dt\right|$ en utilisant $\dfrac{1}{1+t} \le 1$, puis applique le théorème des gendarmes.

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Pour la question 1, reconnais une somme géométrique de raison $- t$ et utilise la formule $k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .

Pour la question 2, intègre l'égalité de la question 1 terme à terme entre $0$ et $1$ , en reconnaissant $ln (1 + t)$ comme primitive de $\frac{1}{1 + t}$ .

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