Pour tout n ∈ N et tout x > 0 , on pose : F n ( x ) = 1 ∫ x t 3 ( ln t ) n d t . À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout x > 0 : F n + 1 ( x ) = − 2 x 2 ( ln x ) n + 1 + 2 n + 1 F n ( x ) , puis déterminer F 0 ( x ) et F 1 ( x ) . On admet que x → + ∞ lim x 2 ( ln x ) k = 0 pour tout k ∈ N ∗ . Montrer par récurrence que F n admet une limite finie a n en + ∞ et que 2 a n + 1 = ( n + 1 ) a n . En posant b n = n ! a n , déterminer a n en fonction de n .

Suite récurrente d'intégrales et limite associée

Difficile

Énoncé

Pour tout $n \in N$ et tout $x > 0$ , on pose :

$F_{n} (x) = 1 \int x \frac{( ln t ) ^{n}}{t ^{3}} d t .$

À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout $x > 0$ : $F_{n + 1} (x) = - \frac{( ln x ) ^{n + 1}}{2 x ^{2}} + \frac{n + 1}{2} F_{n} (x)$ , puis déterminer $F_{0} (x)$ et $F_{1} (x)$ .
On admet que $x \to + \infty lim \frac{( ln x ) ^{k}}{x ^{2}} = 0$ pour tout $k \in N^{*}$ . Montrer par récurrence que $F_{n}$ admet une limite finie $a_{n}$ en $+ \infty$ et que $2 a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ .
En posant $b_{n} = \frac{a _{n}}{n !}$ , déterminer $a_{n}$ en fonction de $n$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour l'intégration par parties, pose $v(t)=(\\ln t)^{n+1}$ et $u'(t)=\\dfrac{1}{t^3}$, puis calcule $v'(t)$ et $u(t)$.

2 Indice 2

N'oublie pas d'évaluer le crochet en $t=1$ où $(\\ln 1)=0$, ce qui simplifie l'expression.

3 Indice 3

Pour la récurrence, utilise le résultat admis $\\dfrac{(\\ln x)^k}{x^2}\\to 0$ pour passer à la limite dans la relation entre $F_{n+1}$ et $F_n$, puis pose $b_n=\\dfrac{a_n}{n!}$ pour reconnaître une suite géométrique.

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Pour l'intégration par parties, pose $v (t) = (l n t)^{n + 1}$ et $u^{'} (t) = df r a c 1 t^{3}$ , puis calcule $v^{'} (t)$ et $u (t)$ .

N'oublie pas d'évaluer le crochet en $t = 1$ où $(l n 1) = 0$ , ce qui simplifie l'expression.

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