Aire entre deux courbes et intégration par parties

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par :

$f(x)=-\frac{1}{4}{x}^2+4x+\left(\frac{1}{2}{x}^2-4x\right)\ln x,$

et la fonction $h$ définie sur $[1;e]$ par $h(x)=-\frac{1}{4}{x}^2+4x$. On note $({\mathcal{C}}_f)$ et $({\mathcal{C}}_h)$ leurs courbes dans un repère orthonormé d'unité $1\text{ cm}$.

1. Montrer que pour tout $x\in [1;e]$, on a $f(x)-h(x)\le 0$.

2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\left(\frac{1}{2}{x}^2-4x\right)\ln xdx=\frac{2e^3-18e^2-17}{18}$.

3. Calculer, en ${\text{cm}}^2$, l'aire du domaine plan limité par $({\mathcal{C}}_f)$, $({\mathcal{C}}_h)$ et les droites $x=1$ et $x=e$.