Aire entre courbes avec fonction logarithmique

Aire d'un domaine plan

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ d'unité $1\text{ cm}$. On considère sur $]0;+\infty [$ les fonctions :

$f(x)=-\frac{1}{4}{x}^2+4x+\left(\frac{1}{2}{x}^2-4x\right)\ln x\text{et}h(x)=-\frac{1}{4}{x}^2+4x.$

On note $(C_f)$ et $(C_h)$ leurs courbes représentatives.

1. Montrer que pour tout $x\in [1;e]$, on a $f(x)-h(x)\le 0$.

2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\left(\frac{1}{2}{x}^2-4x\right)\ln xdx=\frac{2e^3-18e^2-17}{18}.$

3. Calculer en ${\text{cm}}^2$ l'aire du domaine plan limité par $(C_f)$, $(C_h)$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.