Une astuce de symétrie On pose : I = 0 ∫ 2 π cos x + sin x cos x d x et J = 0 ∫ 2 π cos x + sin x sin x d x . Calculer I + J et I − J . En déduire les valeurs de I et J .

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Difficile

Énoncé

Une astuce de symétrie

On pose :

$I = 0 \int \frac{π}{2} \frac{cos x}{cos x + sin x} d x et J = 0 \int \frac{π}{2} \frac{sin x}{cos x + sin x} d x .$

Calculer $I + J$ et $I - J$ .
En déduire les valeurs de $I$ et $J$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour $I+J$, additionne les deux intégrandes : le dénominateur commun $\cos x+\sin x$ se simplifie avec le numérateur.

2 Indice 2

Pour $I-J$, remarque que l'intégrande obtenu est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=\cos x+\sin x$, dont une primitive est $\ln(u(x))$.

3 Indice 3

Résous le système formé par $I+J$ et $I-J$ pour obtenir séparément $I$ et $J$.

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Pour $I + J$ , additionne les deux intégrandes : le dénominateur commun $cos x + sin x$ se simplifie avec le numérateur.

Pour $I - J$ , remarque que l'intégrande obtenu est de la forme $\frac{u ^{'}}{u}$ avec $u (x) = cos x + sin x$ , dont une primitive est $ln (u (x))$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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