Énoncé Pour tout entier naturel n , on pose : S n = k = 0 ∑ n k + 1 ( − 1 ) k Montrer que pour tout réel t  = − 1 : k = 0 ∑ n ( − 1 ) k t k = 1 + t 1 + 1 + t ( − 1 ) n t n + 1 . En déduire que pour tout n ∈ N ∗ : S n = ln 2 + ( − 1 ) n 0 ∫ 1 1 + t t n + 1 d t . Montrer que n → + ∞ lim S n = ln 2 .

Suite de la somme alternée et limite ln 2

Intermédiaire

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$ , on pose :

$S_{n} = k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k + 1}$

Montrer que pour tout réel $t \neq = - 1$ : $k = 0 \sum n (- 1)^{k} t^{k} = \frac{1}{1 + t} + \frac{( - 1 ) ^{n} t ^{n + 1}}{1 + t}$ .
En déduire que pour tout $n \in N^{*}$ : $S_{n} = ln 2 + (- 1)^{n} 0 \int 1 \frac{t ^{n + 1}}{1 + t} d t$ .
Montrer que $n \to + \infty lim S_{n} = ln 2$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la première question, reconnais que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k t^k$ est une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $-t$. Utilise la formule de la somme géométrique.

2 Indice 2

Pour déduire l'expression de $S_n$, intègre l'égalité obtenue entre $0$ et $1$. Remarque que $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{(-1)^k t^k}{1} dt = \dfrac{(-1)^k}{k+1}$ et calcule $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+t} dt$.

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Pour la première question, reconnais que $k = 0 \sum n (- 1)^{k} t^{k}$ est une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $- t$ . Utilise la formule de la somme géométrique.

Pour déduire l'expression de $S_{n}$ , intègre l'égalité obtenue entre $0$ et $1$ . Remarque que $0 \int 1 \frac{( - 1 ) ^{k} t ^{k}}{1} d t = \frac{( - 1 ) ^{k}}{k + 1}$ et calcule $0 \int 1 \frac{1}{1 + t} d t$ .

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