Calcul de I = ln 2 par découpage d'intégrale

Énoncé

Soit $f$ continue sur $[0,1]$ définie par $f(x)=\frac{x-1}{\ln x}$ sur $]0,1[$, $f(0)=0$, $f(1)=1$. On pose $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$ et, pour $x\in ]0,1[$ : $I(x)=\underset{x}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$.

1. Montrer que pour tout $x\in ]0,1[$ : $0\le I-I(x)\le x$.

2. Sachant que $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }I(x)=\ln 2$, en déduire la valeur de $I$.