Énoncé Soit F ( x ) = x 2 ∫ 4 x 2 t e − t d t pour x > 0 . Vérifier que pour tout x > 0 : 2 ln 2 = x 2 ∫ 4 x 2 t d t . Montrer que pour tout t ≥ 1 : t e − t ≤ e − t , puis calculer x → + ∞ lim F ( x ) .

Encadrement par exponentielle et limite à l'infini

Intermédiaire

Énoncé

Soit $F (x) = x^{2} \int 4 x^{2} \frac{e ^{- t}}{t} d t$ pour $x > 0$ .

Vérifier que pour tout $x > 0$ : $2 ln 2 = x^{2} \int 4 x^{2} \frac{d t}{t}$ .
Montrer que pour tout $t \geq 1$ : $\frac{e ^{- t}}{t} \leq e^{- t}$ , puis calculer $x \to + \infty lim F (x)$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la première question, rappelle-toi que la primitive de $\dfrac{1}{t}$ est $\ln t$. Calcule cette intégrale en utilisant cette primitive et simplifie le logarithme obtenu.

2 Indice 2

Pour la limite, compare d'abord $\dfrac{e^{-t}}{t}$ et $e^{-t}$ quand $t \ge 1$, puis intègre cette inégalité sur $[x^{2}, 4x^{2}]$ pour encadrer $F(x)$ et applique le théorème des gendarmes.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour la première question, rappelle-toi que la primitive de $\frac{1}{t}$ est $ln t$ . Calcule cette intégrale en utilisant cette primitive et simplifie le logarithme obtenu.

Pour la limite, compare d'abord $\frac{e ^{- t}}{t}$ et $e^{- t}$ quand $t \geq 1$ , puis intègre cette inégalité sur $[x^{2}, 4 x^{2}]$ pour encadrer $F (x)$ et applique le théorème des gendarmes.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Limite par encadrement intégral Tous les exercices du chapitre Calcul de I = ln 2 par découpage d'intégrale

Encadrement par exponentielle et limite à l'infini

Énoncé

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Encadrement par exponentielle et limite à l'infini

Énoncé

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯